Интеграл sin(pi*x)^(2) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |     2         
 |  sin (pi*x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \sin^{2}{\left (\pi x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{2}{\left (\pi x \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (2 \pi x \right )} + \frac{1}{2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 \pi x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 \pi x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = 2 \pi x$.

         Тогда пусть $du = 2 \pi dx$ и подставим $\frac{du}{2 \pi}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2 \pi} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left (u \right )}}{2 \pi}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2 \pi} \sin{\left (2 \pi x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4 \pi} \sin{\left (2 \pi x \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

   Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{1}{4 \pi} \sin{\left (2 \pi x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} - \frac{1}{4 \pi} \sin{\left (2 \pi x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{2} - \frac{1}{4 \pi} \sin{\left (2 \pi x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |     2               
 |  sin (pi*x) dx = 1/2
 |                     
/                      
0                      

$$-{{\sin \left(2\,\pi\right)-2\,\pi}\over{4\,\pi}}$$

Численный ответ

0.5

Ответ (Неопределённый)

  /                                   
 |                                    
 |    2                x   sin(2*pi*x)
 | sin (pi*x) dx = C + - - -----------
 |                     2       4*pi   
/                                     

$${{\pi\,x-{{\sin \left(2\,\pi\,x\right)}\over{2}}}\over{2\,\pi}}$$