Интеграл sin(pi*x)^(3) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |     3         
 |  sin (pi*x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \sin^{3}{\left (\pi x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{3}{\left (\pi x \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (\pi x \right )} + 1\right) \sin{\left (\pi x \right )}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \cos{\left (\pi x \right )}$.

      Тогда пусть $du = - \pi \sin{\left (\pi x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{\pi}$:

      $\int u^{2} - 1\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{2} - 1\, du = \frac{1}{\pi} \int u^{2} - 1\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int -1\, du = - u$

            Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} - u$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{\pi} \left(\frac{u^{3}}{3} - u\right)$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{\pi} \left(\frac{1}{3} \cos^{3}{\left (\pi x \right )} - \cos{\left (\pi x \right )}\right)$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- \cos^{2}{\left (\pi x \right )} + 1\right) \sin{\left (\pi x \right )} = - \sin{\left (\pi x \right )} \cos^{2}{\left (\pi x \right )} + \sin{\left (\pi x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \sin{\left (\pi x \right )} \cos^{2}{\left (\pi x \right )}\, dx = - \int \sin{\left (\pi x \right )} \cos^{2}{\left (\pi x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left (\pi x \right )}$.

            Тогда пусть $du = - \pi \sin{\left (\pi x \right )} dx$ и подставим $- \frac{du}{\pi}$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{2}\, du = - \frac{1}{\pi} \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3 \pi}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{3 \pi} \cos^{3}{\left (\pi x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3 \pi} \cos^{3}{\left (\pi x \right )}$

      1. пусть $u = \pi x$.

         Тогда пусть $du = \pi dx$ и подставим $\frac{du}{\pi}$:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{\pi} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{\pi} \cos{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{\pi} \cos{\left (\pi x \right )}$

      Результат есть: $\frac{1}{3 \pi} \cos^{3}{\left (\pi x \right )} - \frac{1}{\pi} \cos{\left (\pi x \right )}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{1}{3 \pi} \left(\cos^{2}{\left (\pi x \right )} - 3\right) \cos{\left (\pi x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{3 \pi} \left(\cos^{2}{\left (\pi x \right )} - 3\right) \cos{\left (\pi x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{3 \pi} \left(\cos^{2}{\left (\pi x \right )} - 3\right) \cos{\left (\pi x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |     3             4  
 |  sin (pi*x) dx = ----
 |                  3*pi
/                       
0                       

$${{\cos ^3\pi-3\,\cos \pi}\over{3\,\pi}}+{{2}\over{3\,\pi}}$$

Численный ответ

0.424413181578388

Ответ (Неопределённый)

                                       3      
  /                                 cos (pi*x)
 |                     -cos(pi*x) + ----------
 |    3                                 3     
 | sin (pi*x) dx = C + -----------------------
 |                                pi          
/                                             

$${{{{\cos ^3\left(\pi\,x\right)}\over{3}}-\cos \left(\pi\,x\right) }\over{\pi}}$$