Интеграл sin(2*x)^(4) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
      /             
     |              
     |     4        
     |  sin (2*x) dx
     |              
    /               
    0               
    01sin4(2x)dx\int_{0}^{1} \sin^{4}{\left (2 x \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      sin4(2x)=(12cos(4x)+12)2\sin^{4}{\left (2 x \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}

    2. Перепишите подынтегральное выражение:

      (12cos(4x)+12)2=14cos2(4x)12cos(4x)+14\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4}

    3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        14cos2(4x)dx=14cos2(4x)dx\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          cos2(4x)=12cos(8x)+12\cos^{2}{\left (4 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            12cos(8x)dx=12cos(8x)dx\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx

            1. пусть u=8xu = 8 x.

              Тогда пусть du=8dxdu = 8 dx и подставим du8\frac{du}{8}:

              cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                cos(u)du=18cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

                Таким образом, результат будет: 18sin(u)\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              18sin(8x)\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}

            Таким образом, результат будет: 116sin(8x)\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          Результат есть: x2+116sin(8x)\frac{x}{2} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}

        Таким образом, результат будет: x8+164sin(8x)\frac{x}{8} + \frac{1}{64} \sin{\left (8 x \right )}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        12cos(4x)dx=12cos(4x)dx\int - \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx

        1. пусть u=4xu = 4 x.

          Тогда пусть du=4dxdu = 4 dx и подставим du4\frac{du}{4}:

          cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            cos(u)du=14cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

              cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

            Таким образом, результат будет: 14sin(u)\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          14sin(4x)\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}

        Таким образом, результат будет: 18sin(4x)- \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        14dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      Результат есть: 3x818sin(4x)+164sin(8x)\frac{3 x}{8} - \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{64} \sin{\left (8 x \right )}

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      3x818sin(4x)+164sin(8x)+constant\frac{3 x}{8} - \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{64} \sin{\left (8 x \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    3x818sin(4x)+164sin(8x)+constant\frac{3 x}{8} - \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{64} \sin{\left (8 x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-1010
    Ответ [src]
      1                                                    
      /                                                    
     |                                          3          
     |     4           3   3*cos(2)*sin(2)   sin (2)*cos(2)
     |  sin (2*x) dx = - - --------------- - --------------
     |                 8          16               8       
    /                                                      
    0                                                      
    sin88sin4+2464{{\sin 8-8\,\sin 4+24}\over{64}}
    Численный ответ [src]
    0.485059034516981
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                            
     |                                             
     |    4               sin(4*x)   sin(8*x)   3*x
     | sin (2*x) dx = C - -------- + -------- + ---
     |                       8          64       8 
    /                                              
    sin(8x)2+4x8sin(4x)2+x4{{{{{{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+4\,x}\over{8}}-{{\sin \left( 4\,x\right)}\over{2}}+x}\over{4}}