Интеграл (sin(2*x))^3 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     3        
 |  sin (2*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \sin^{3}{\left (2 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{3}{\left (2 x \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \sin{\left (2 x \right )}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \cos{\left (2 x \right )}$.

      Тогда пусть $du = - 2 \sin{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{1}{2} \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{6}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int - \frac{1}{2}\, du = - \frac{u}{2}$

         Результат есть: $\frac{u^{3}}{6} - \frac{u}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{6} \cos^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- \cos^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \sin{\left (2 x \right )} = - \sin{\left (2 x \right )} \cos^{2}{\left (2 x \right )} + \sin{\left (2 x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \sin{\left (2 x \right )} \cos^{2}{\left (2 x \right )}\, dx = - \int \sin{\left (2 x \right )} \cos^{2}{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left (2 x \right )}$.

            Тогда пусть $du = - 2 \sin{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{2}\, du = - \frac{1}{2} \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{6} \cos^{3}{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{6} \cos^{3}{\left (2 x \right )}$

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}$

      Результат есть: $\frac{1}{6} \cos^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{1}{6} \left(\cos^{2}{\left (2 x \right )} - 3\right) \cos{\left (2 x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{6} \left(\cos^{2}{\left (2 x \right )} - 3\right) \cos{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{6} \left(\cos^{2}{\left (2 x \right )} - 3\right) \cos{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                    
  /                                    
 |                                 3   
 |     3           1   cos(2)   cos (2)
 |  sin (2*x) dx = - - ------ + -------
 |                 3     2         6   
/                                      
0                                      

$${{\cos ^32-3\,\cos 2}\over{6}}+{{1}\over{3}}$$

Численный ответ

0.52939549231561

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                                  3     
 |    3               cos(2*x)   cos (2*x)
 | sin (2*x) dx = C - -------- + ---------
 |                       2           6    
/                                         

$${{{{\cos ^3\left(2\,x\right)}\over{3}}-\cos \left(2\,x\right) }\over{2}}$$