Интеграл sin(5*x)^(4) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     4        
 |  sin (5*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{4}{\left(5 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{4}{\left(5 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2}\right)^{2}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(10 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{2}{\left(10 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(10 x \right)}\, dx}{4}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(10 x \right)} = \frac{\cos{\left(20 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(20 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(20 x \right)}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = 20 x$.

                  Тогда пусть $du = 20 dx$ и подставим $\frac{du}{20}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{400}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{20}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{20}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{20}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(20 x \right)}}{20}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(20 x \right)}}{40}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{40}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{160}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(10 x \right)}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = 10 x$.

            Тогда пусть $du = 10 dx$ и подставим $\frac{du}{10}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{100}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{10}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{10}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{10}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(10 x \right)}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{160}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(10 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{2}{\left(10 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(10 x \right)}\, dx}{4}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(10 x \right)} = \frac{\cos{\left(20 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(20 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(20 x \right)}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = 20 x$.

                  Тогда пусть $du = 20 dx$ и подставим $\frac{du}{20}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{400}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{20}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{20}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{20}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(20 x \right)}}{20}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(20 x \right)}}{40}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{40}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{160}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(10 x \right)}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = 10 x$.

            Тогда пусть $du = 10 dx$ и подставим $\frac{du}{10}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{100}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{10}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{10}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{10}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(10 x \right)}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{160}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{160}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{160}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                         3          
3   3*cos(5)*sin(5)   sin (5)*cos(5)
- - --------------- - --------------
8          40               20      

$$- \frac{\sin^{3}{\left(5 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{20} - \frac{3 \sin{\left(5 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{40} + \frac{3}{8}$$

=

=

                         3          
3   3*cos(5)*sin(5)   sin (5)*cos(5)
- - --------------- - --------------
8          40               20      

$$- \frac{\sin^{3}{\left(5 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{20} - \frac{3 \sin{\left(5 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{40} + \frac{3}{8}$$

Численный ответ

0.407906963361516

Ответ (Неопределённый)

  /                                              
 |                                               
 |    4               sin(10*x)   sin(20*x)   3*x
 | sin (5*x) dx = C - --------- + --------- + ---
 |                        20         160       8 
/                                                

$$\int \sin^{4}{\left(5 x \right)}\, dx = C + \frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{160}$$

График