Интеграл (sin(t))^4 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     4      
 |  sin (t) dt
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{4}{\left(t \right)}\, dt$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{4}{\left(t \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{2}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{4}\, dt = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 t \right)}\, dt}{4}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(2 t \right)} = \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(4 t \right)}\, dt}{2}$

               1. пусть $u = 4 t$.

                  Тогда пусть $du = 4 dt$ и подставим $\frac{du}{4}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{4}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

            Результат есть: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{t}{8} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{32}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$

         1. пусть $u = 2 t$.

            Тогда пусть $du = 2 dt$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dt = \frac{t}{4}$

      Результат есть: $\frac{3 t}{8} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{32}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 t \right)}}{4}\, dt = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 t \right)}\, dt}{4}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(2 t \right)} = \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(4 t \right)}\, dt}{2}$

               1. пусть $u = 4 t$.

                  Тогда пусть $du = 4 dt$ и подставим $\frac{du}{4}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{4}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

            Результат есть: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{t}{8} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{32}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$

         1. пусть $u = 2 t$.

            Тогда пусть $du = 2 dt$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dt = \frac{t}{4}$

      Результат есть: $\frac{3 t}{8} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{32}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 t}{8} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{32}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 t}{8} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{32}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                         3          
3   3*cos(1)*sin(1)   sin (1)*cos(1)
- - --------------- - --------------
8          8                4       

$$- \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{8} - \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{4} + \frac{3}{8}$$

=

=

                         3          
3   3*cos(1)*sin(1)   sin (1)*cos(1)
- - --------------- - --------------
8          8                4       

$$- \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{8} - \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{4} + \frac{3}{8}$$

Численный ответ

0.124025565315207

Ответ (Неопределённый)

  /                                          
 |                                           
 |    4             sin(2*t)   sin(4*t)   3*t
 | sin (t) dt = C - -------- + -------- + ---
 |                     4          32       8 
/                                            

$$\int \sin^{4}{\left(t \right)}\, dt = C + \frac{3 t}{8} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{32}$$

График