Интеграл sin(t)^(4) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     4      
 |  sin (t) dt
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \sin^{4}{\left (t \right )}\, dt$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{4}{\left (t \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 t \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 t \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (2 t \right )} - \frac{1}{2} \cos{\left (2 t \right )} + \frac{1}{4}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (2 t \right )}\, dt = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (2 t \right )}\, dt$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{2}{\left (2 t \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (4 t \right )} + \frac{1}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2} \cos{\left (4 t \right )}\, dt = \frac{1}{2} \int \cos{\left (4 t \right )}\, dt$

            1. пусть $u = 4 t$.

               Тогда пусть $du = 4 dt$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 t \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (4 t \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

         Результат есть: $\frac{t}{2} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 t \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{t}{8} + \frac{1}{32} \sin{\left (4 t \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 t \right )}\, dt = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 t \right )}\, dt$

      1. пусть $u = 2 t$.

         Тогда пусть $du = 2 dt$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \sin{\left (2 t \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin{\left (2 t \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{4}\, dt = \frac{t}{4}$

   Результат есть: $\frac{3 t}{8} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 t \right )} + \frac{1}{32} \sin{\left (4 t \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 t}{8} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 t \right )} + \frac{1}{32} \sin{\left (4 t \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 t}{8} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 t \right )} + \frac{1}{32} \sin{\left (4 t \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                  
  /                                                  
 |                                        3          
 |     4         3   3*cos(1)*sin(1)   sin (1)*cos(1)
 |  sin (t) dt = - - --------------- - --------------
 |               8          8                4       
/                                                    
0                                                    

$${{\sin 4-8\,\sin 2+12}\over{32}}$$

Численный ответ

0.124025565315207

Ответ (Неопределённый)

  /                                          
 |                                           
 |    4             sin(2*t)   sin(4*t)   3*t
 | sin (t) dt = C - -------- + -------- + ---
 |                     4          32       8 
/                                            

$${{{{{{\sin \left(4\,t\right)}\over{2}}+2\,t}\over{8}}-{{\sin \left( 2\,t\right)}\over{2}}+{{t}\over{2}}}\over{2}}$$