Интеграл (sin(3*x))^4 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     4        
 |  sin (3*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \sin^{4}{\left (3 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{4}{\left (3 x \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (6 x \right )} - \frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + \frac{1}{4}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (6 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (6 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{2}{\left (6 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (12 x \right )} + \frac{1}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2} \cos{\left (12 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (12 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 12 x$.

               Тогда пусть $du = 12 dx$ и подставим $\frac{du}{12}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{12} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{12} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{12} \sin{\left (12 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{24} \sin{\left (12 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{24} \sin{\left (12 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{96} \sin{\left (12 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (6 x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = 6 x$.

         Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{6} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{6} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{6} \sin{\left (6 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{12} \sin{\left (6 x \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

   Результат есть: $\frac{3 x}{8} - \frac{1}{12} \sin{\left (6 x \right )} + \frac{1}{96} \sin{\left (12 x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 x}{8} - \frac{1}{12} \sin{\left (6 x \right )} + \frac{1}{96} \sin{\left (12 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 x}{8} - \frac{1}{12} \sin{\left (6 x \right )} + \frac{1}{96} \sin{\left (12 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                  
  /                                                  
 |                                        3          
 |     4           3   cos(3)*sin(3)   sin (3)*cos(3)
 |  sin (3*x) dx = - - ------------- - --------------
 |                 8         8               12      
/                                                    
0                                                    

$${{\sin 12-8\,\sin 6+36}\over{96}}$$

Численный ответ

0.392695323620739

Ответ (Неопределённый)

  /                                             
 |                                              
 |    4               sin(6*x)   sin(12*x)   3*x
 | sin (3*x) dx = C - -------- + --------- + ---
 |                       12          96       8 
/                                               

$${{{{{{\sin \left(12\,x\right)}\over{2}}+6\,x}\over{8}}-{{\sin \left(6\,x\right)}\over{2}}+{{3\,x}\over{2}}}\over{6}}$$