Интеграл (sin(3*x))^2 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     2        
 |  sin (3*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \sin^{2}{\left (3 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{2}{\left (3 x \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + \frac{1}{2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (6 x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = 6 x$.

         Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{6} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{6} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{6} \sin{\left (6 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{12} \sin{\left (6 x \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

   Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{1}{12} \sin{\left (6 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} - \frac{1}{12} \sin{\left (6 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{2} - \frac{1}{12} \sin{\left (6 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                 
  /                                 
 |                                  
 |     2           1   cos(3)*sin(3)
 |  sin (3*x) dx = - - -------------
 |                 2         6      
/                                   
0                                   

$$-{{\sin 6-6}\over{12}}$$

Численный ответ

0.52328462484991

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 |    2               x   sin(6*x)
 | sin (3*x) dx = C + - - --------
 |                    2      12   
/                                 

$${{3\,x-{{\sin \left(6\,x\right)}\over{2}}}\over{6}}$$