Интеграл (sin(3*x))^5 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     5        
 |  sin (3*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \sin^{5}{\left (3 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{5}{\left (3 x \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right)^{2} \sin{\left (3 x \right )}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{3} \sin{\left (u \right )} \cos^{4}{\left (u \right )} - \frac{2}{3} \sin{\left (u \right )} \cos^{2}{\left (u \right )} + \frac{1}{3} \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{3} \sin{\left (u \right )} \cos^{4}{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )} \cos^{4}{\left (u \right )}\, du$

            1. пусть $u = \cos{\left (u \right )}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left (u \right )} du$ и подставим $- du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{5} \cos^{5}{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{15} \cos^{5}{\left (u \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{2}{3} \sin{\left (u \right )} \cos^{2}{\left (u \right )}\, du = - \frac{2}{3} \int \sin{\left (u \right )} \cos^{2}{\left (u \right )}\, du$

            1. пусть $u = \cos{\left (u \right )}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left (u \right )} du$ и подставим $- du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{2}{9} \cos^{3}{\left (u \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{3} \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}$

         Результат есть: $- \frac{1}{15} \cos^{5}{\left (u \right )} + \frac{2}{9} \cos^{3}{\left (u \right )} - \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{15} \cos^{5}{\left (3 x \right )} + \frac{2}{9} \cos^{3}{\left (3 x \right )} - \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- \cos^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right)^{2} \sin{\left (3 x \right )} = \sin{\left (3 x \right )} \cos^{4}{\left (3 x \right )} - 2 \sin{\left (3 x \right )} \cos^{2}{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \cos{\left (3 x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - 3 \sin{\left (3 x \right )} dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{4}\, du = - \frac{1}{3} \int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{15}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{15} \cos^{5}{\left (3 x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 2 \sin{\left (3 x \right )} \cos^{2}{\left (3 x \right )}\, dx = - 2 \int \sin{\left (3 x \right )} \cos^{2}{\left (3 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left (3 x \right )}$.

            Тогда пусть $du = - 3 \sin{\left (3 x \right )} dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{2}\, du = - \frac{1}{3} \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{9}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{9} \cos^{3}{\left (3 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2}{9} \cos^{3}{\left (3 x \right )}$

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

      Результат есть: $- \frac{1}{15} \cos^{5}{\left (3 x \right )} + \frac{2}{9} \cos^{3}{\left (3 x \right )} - \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

3. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{45} \left(3 \sin^{4}{\left (3 x \right )} + 4 \sin^{2}{\left (3 x \right )} + 8\right) \cos{\left (3 x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{45} \left(3 \sin^{4}{\left (3 x \right )} + 4 \sin^{2}{\left (3 x \right )} + 8\right) \cos{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{45} \left(3 \sin^{4}{\left (3 x \right )} + 4 \sin^{2}{\left (3 x \right )} + 8\right) \cos{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                 
  /                                                 
 |                                  5           3   
 |     5           8    cos(3)   cos (3)   2*cos (3)
 |  sin (3*x) dx = -- - ------ - ------- + ---------
 |                 45     3         15         9    
/                                                   
0                                                   

$${{8}\over{45}}-{{3\,\cos ^53-10\,\cos ^33+15\,\cos 3}\over{45}}$$

Численный ответ

0.355555113446564

Ответ (Неопределённый)

  /                                                     
 |                                  5             3     
 |    5               cos(3*x)   cos (3*x)   2*cos (3*x)
 | sin (3*x) dx = C - -------- - --------- + -----------
 |                       3           15           9     
/                                                       

$${{-{{\cos ^5\left(3\,x\right)}\over{5}}+{{2\,\cos ^3\left(3\,x \right)}\over{3}}-\cos \left(3\,x\right)}\over{3}}$$