Интеграл sin(y)^(2) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     2      
 |  sin (y) dy
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \sin^{2}{\left (y \right )}\, dy$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{2}{\left (y \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (2 y \right )} + \frac{1}{2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 y \right )}\, dy = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 y \right )}\, dy$

      1. пусть $u = 2 y$.

         Тогда пусть $du = 2 dy$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \sin{\left (2 y \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin{\left (2 y \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{2}\, dy = \frac{y}{2}$

   Результат есть: $\frac{y}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 y \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{y}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 y \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{y}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 y \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                               
  /                               
 |                                
 |     2         1   cos(1)*sin(1)
 |  sin (y) dy = - - -------------
 |               2         2      
/                                 
0                                 

$$-{{\sin 2-2}\over{4}}$$

Численный ответ

0.27267564329358

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |    2             y   sin(2*y)
 | sin (y) dy = C + - - --------
 |                  2      4    
/                               

$${{y-{{\sin \left(2\,y\right)}\over{2}}}\over{2}}$$