Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл sin(x/2)^(2) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1           
  /           
 |            
 |     2/x\   
 |  sin |-| dx
 |      \2/   
 |            
/             
0
    ∫01sin⁡2(x2) dx\int_{0}^{1} \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx
    Подробное решение

    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        sin⁡2(x2)=sin⁡2(x2)\sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

        sin⁡2(x2)=−12cos⁡(x)+12\sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2}

      3. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫−12cos⁡(x) dx=−12∫cos⁡(x) dx\int - \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (x \right )}\, dx

          1. Интеграл от косинуса есть синус:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}

          Таким образом, результат будет: −12sin⁡(x)- \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        Результат есть: x2−12sin⁡(x)\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        sin⁡2(x2)=−12cos⁡(x)+12\sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫−12cos⁡(x) dx=−12∫cos⁡(x) dx\int - \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (x \right )}\, dx

          1. Интеграл от косинуса есть синус:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}

          Таким образом, результат будет: −12sin⁡(x)- \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        Результат есть: x2−12sin⁡(x)\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      x2−12sin⁡(x)+constant\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    x2−12sin⁡(x)+constant\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-1010
    Ответ [src]
      1                                     
  /                                     
 |                                      
 |     2/x\                             
 |  sin |-| dx = 1/2 - cos(1/2)*sin(1/2)
 |      \2/                             
 |                                      
/                                       
0
    −sin⁡1−12-{{\sin 1-1}\over{2}}
    Численный ответ [src]
    0.0792645075960517
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                           
 |                            
 |    2/x\          x   sin(x)
 | sin |-| dx = C + - - ------
 |     \2/          2     2   
 |                            
/
    x2−sin⁡x2{{x}\over{2}}-{{\sin x}\over{2}}
    Упростить