Интеграл (sin(x/2))^3 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     3/x\   
 |  sin |-| dx
 |      \2/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   3. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \frac{dx}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $du$:

         $\int 2 u^{2} - 2\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{2 u^{3}}{3}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int -2\, du = - 2 u$

            Результат есть: $\frac{2 u^{3}}{3} - 2 u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{2}{3} \cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} - 2 \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(- \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} = - \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = - \int \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

            1. пусть $u = \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

               Тогда пусть $du = - \frac{dx}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $- 2 du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int u^{2}\, du = - 2 \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{2 u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{2}{3} \cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{2}{3} \cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = 2 \int \sin{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- 2 \cos{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- 2 \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Результат есть: $\frac{2}{3} \cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} - 2 \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   2. пусть $u = \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $du$:

      $\int 2 u^{2} - 2\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{2 u^{3}}{3}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int -2\, du = - 2 u$

         Результат есть: $\frac{2 u^{3}}{3} - 2 u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{2}{3} \cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} - 2 \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{3}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{6} \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{3}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{6} \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{3}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{6} \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                          
  /                                          
 |                                     3     
 |     3/x\      4                2*cos (1/2)
 |  sin |-| dx = - - 2*cos(1/2) + -----------
 |      \2/      3                     3     
 |                                           
/                                            
0                                            

$${{2\,\cos ^3\left({{1}\over{2}}\right)-6\,\cos \left({{1}\over{2}} \right)}\over{3}}+{{4}\over{3}}$$

Численный ответ

0.0287490241090581

Ответ (Неопределённый)

  /                                 3/x\
 |                             2*cos |-|
 |    3/x\               /x\         \2/
 | sin |-| dx = C - 2*cos|-| + ---------
 |     \2/               \2/       3    
 |                                      
/                                       

$$2\,\left({{\cos ^3\left({{x}\over{2}}\right)}\over{3}}-\cos \left( {{x}\over{2}}\right)\right)$$