Интеграл sin(x)/exp(x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1          
      /          
     |           
     |  sin(x)   
     |  ------ dx
     |     x     
     |    e      
     |           
    /            
    0            
    011exsin(x)dx\int_{0}^{1} \frac{1}{e^{x}} \sin{\left (x \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      1exsin(x)=exsin(x)\frac{1}{e^{x}} \sin{\left (x \right )} = e^{- x} \sin{\left (x \right )}

    2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=xu = - x.

        Тогда пусть du=dxdu = - dx и подставим dudu:

        eusin(u)du\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du

        1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

          1. Для подинтегрального выражения eusin(u)e^{u} \sin{\left (u \right )}:

            пусть u(u)=sin(u)u{\left (u \right )} = \sin{\left (u \right )} и пусть dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}.

            Затем eusin(u)du=eusin(u)eucos(u)du\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - \int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du.

          2. Для подинтегрального выражения eucos(u)e^{u} \cos{\left (u \right )}:

            пусть u(u)=cos(u)u{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )} и пусть dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}.

            Затем eusin(u)du=eusin(u)eucos(u)+eusin(u)du\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )} + \int - e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du.

          3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

            2eusin(u)du=eusin(u)eucos(u)2 \int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )}

            Поэтому,

            eusin(u)du=eu2sin(u)eu2cos(u)\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} - \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        ex2sin(x)ex2cos(x)- \frac{e^{- x}}{2} \sin{\left (x \right )} - \frac{e^{- x}}{2} \cos{\left (x \right )}

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=sin(x)u{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} и пусть dv(x)=ex\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{- x} dx.

        Затем du(x)=cos(x)\operatorname{du}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} dx.

        Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

        1. пусть u=xu = - x.

          Тогда пусть du=dxdu = - dx и подставим du- du:

          eudu\int e^{u}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            eudu=eudu\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Таким образом, результат будет: eu- e^{u}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          ex- e^{- x}

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        excos(x)dx=excos(x)dx\int - e^{- x} \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int e^{- x} \cos{\left (x \right )}\, dx

        1. пусть u=xu = - x.

          Тогда пусть du=dxdu = - dx и подставим du- du:

          eucos(u)du\int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            eucos(u)du=eucos(u)du\int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du = - \int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du

            1. Используем интегрирование по частям:

              udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              пусть u(u)=cos(u)u{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )} и пусть dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u} dx.

              Затем du(u)=sin(u)\operatorname{du}{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )} dx.

              Чтобы найти v(u)v{\left (u \right )}:

              1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              eusin(u)du=eusin(u)du\int - e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = - \int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du

              1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

                1. Для подинтегрального выражения eusin(u)e^{u} \sin{\left (u \right )}:

                  пусть u(u)=sin(u)u{\left (u \right )} = \sin{\left (u \right )} и пусть dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}.

                  Затем eusin(u)du=eusin(u)eucos(u)du\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - \int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du.

                2. Для подинтегрального выражения eucos(u)e^{u} \cos{\left (u \right )}:

                  пусть u(u)=cos(u)u{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )} и пусть dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}.

                  Затем eusin(u)du=eusin(u)eucos(u)+eusin(u)du\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )} + \int - e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du.

                3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

                  2eusin(u)du=eusin(u)eucos(u)2 \int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )}

                  Поэтому,

                  eusin(u)du=eu2sin(u)eu2cos(u)\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} - \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}

              Таким образом, результат будет: eu2sin(u)+eu2cos(u)- \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} + \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}

            Таким образом, результат будет: eu2sin(u)eu2cos(u)- \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} - \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          ex2sin(x)ex2cos(x)\frac{e^{- x}}{2} \sin{\left (x \right )} - \frac{e^{- x}}{2} \cos{\left (x \right )}

        Таким образом, результат будет: ex2sin(x)+ex2cos(x)- \frac{e^{- x}}{2} \sin{\left (x \right )} + \frac{e^{- x}}{2} \cos{\left (x \right )}

    3. Теперь упростить:

      22exsin(x+π4)- \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- x} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      22exsin(x+π4)+constant- \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- x} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    22exsin(x+π4)+constant- \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- x} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-2000020000
    Ответ [src]
      1                                        
      /                                        
     |                          -1    -1       
     |  sin(x)      1   cos(1)*e     e  *sin(1)
     |  ------ dx = - - ---------- - ----------
     |     x        2       2            2     
     |    e                                    
     |                                         
    /                                          
    0                                          
    12e1(sin1+cos1)2{{1}\over{2}}-{{e^ {- 1 }\,\left(\sin 1+\cos 1\right)}\over{2}}
    Численный ответ [src]
    0.245837007000237
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                       
     |                         -x    -x       
     | sin(x)          cos(x)*e     e  *sin(x)
     | ------ dx = C - ---------- - ----------
     |    x                2            2     
     |   e                                    
     |                                        
    /                                         
    ex(sinxcosx)2{{e^ {- x }\,\left(-\sin x-\cos x\right)}\over{2}}