Интеграл sin(x)/(cos(x)+1) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |    sin(x)     
     |  ---------- dx
     |  cos(x) + 1   
     |               
    /                
    0                
    01sin(x)cos(x)+1dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx
    Подробное решение
    1. пусть u=cos(x)+1u = \cos{\left(x \right)} + 1.

      Тогда пусть du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx и подставим du- du:

      1udu\int \frac{1}{u}\, du

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        (1u)du=1udu\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

        1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

        Таким образом, результат будет: log(u)- \log{\left(u \right)}

      Если сейчас заменить uu ещё в:

      log(cos(x)+1)- \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}

    2. Теперь упростить:

      log(cos(x)+1)- \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      log(cos(x)+1)+constant- \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    log(cos(x)+1)+constant- \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
    Ответ [src]
    -log(1 + cos(1)) + log(2)
    log(cos(1)+1)+log(2)- \log{\left(\cos{\left(1 \right)} + 1 \right)} + \log{\left(2 \right)}
    =
    =
    -log(1 + cos(1)) + log(2)
    log(cos(1)+1)+log(2)- \log{\left(\cos{\left(1 \right)} + 1 \right)} + \log{\left(2 \right)}
    Численный ответ [src]
    0.261168480887445
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                   
     |                                    
     |   sin(x)                           
     | ---------- dx = C - log(cos(x) + 1)
     | cos(x) + 1                         
     |                                    
    /                                     
    sin(x)cos(x)+1dx=Clog(cos(x)+1)\int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\, dx = C - \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}
    График
    Интеграл sin(x)/(cos(x)+1) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/b/be/aa9d48c2678175960df59e7fbbff2.png