Интеграл (sin(x))/(1-cos(x)) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |    sin(x)     
 |  ---------- dx
 |  1 - cos(x)   
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 1 - \cos{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left(x \right)} - 1$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

oo + pi*I

$$\infty + i \pi$$

=

=

oo + pi*I

$$\infty + i \pi$$

Ответ (Неопределённый)

  /                                   
 |                                    
 |   sin(x)                           
 | ---------- dx = C + log(1 - cos(x))
 | 1 - cos(x)                         
 |                                    
/                                     

$$\int \frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\, dx = C + \log{\left(1 - \cos{\left(x \right)} \right)}$$