Интеграл sin(x/8)^(4) (dx)

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{4}{\left (\frac{x}{8} \right )} = \sin^{4}{\left (\frac{x}{8} \right )}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{4}{\left (\frac{x}{8} \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

   3. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )} - \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )} + \frac{1}{4}$

   4. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

               1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

                  Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{4} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{x}{4}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{4}$ и подставим $4 du$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 4 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $4 \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $4 \sin{\left (\frac{x}{4} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 \sin{\left (\frac{x}{4} \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{3 x}{8} - 2 \sin{\left (\frac{x}{4} \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{4}{\left (\frac{x}{8} \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )} - \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )} + \frac{1}{4}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

               1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

                  Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{4} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{x}{4}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{4}$ и подставим $4 du$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = 4 \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $4 \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $4 \sin{\left (\frac{x}{4} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 \sin{\left (\frac{x}{4} \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{3 x}{8} - 2 \sin{\left (\frac{x}{4} \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 x}{8} - 2 \sin{\left (\frac{x}{4} \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 x}{8} - 2 \sin{\left (\frac{x}{4} \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                            
  /                                                            
 |                                                             
 |     4/x\      3                              3              
 |  sin |-| dx = - - 3*cos(1/8)*sin(1/8) - 2*sin (1/8)*cos(1/8)
 |      \8/      8                                             
 |                                                             
/                                                              
0                                                              

$${{2\,\sin \left({{1}\over{2}}\right)-16\,\sin \left({{1}\over{4}} \right)+3}\over{8}}$$

Численный ответ

4.84661420048909e-5

Ответ (Неопределённый)

  /                               /x\      
 |                             sin|-|      
 |    4/x\               /x\      \2/   3*x
 | sin |-| dx = C - 2*sin|-| + ------ + ---
 |     \8/               \4/     4       8 
 |                                         
/                                          

$$4\,\left({{x}\over{16}}+{{{{x}\over{4}}+{{\sin \left({{x}\over{2}} \right)}\over{2}}}\over{8}}-{{\sin \left({{x}\over{4}}\right)}\over{ 2}}\right)$$