Интеграл sin(x)-sin(x)^(3) (dx)

Вы ввели

  1                      
  /                      
 |                       
 |  /            3   \   
 |  \sin(x) - sin (x)/ dx
 |                       
/                        
0                        

$$\int_{0}^{1} - \sin^{3}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \sin^{3}{\left (x \right )}\, dx = - \int \sin^{3}{\left (x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\sin^{3}{\left (x \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}$

      2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{2} - 1\, du$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int -1\, du = - u$

               Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} - u$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = - \int \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

               1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

                  Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

            Результат есть: $\frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                    
  /                                    
 |                                 3   
 |  /            3   \      1   cos (1)
 |  \sin(x) - sin (x)/ dx = - - -------
 |                          3      3   
/                                      
0                                      

$$-{{\cos ^31-1}\over{3}}$$

Численный ответ

0.280757131583002

Ответ (Неопределённый)

  /                                   
 |                                3   
 | /            3   \          cos (x)
 | \sin(x) - sin (x)/ dx = C - -------
 |                                3   
/                                     

$$-{{\cos ^3x}\over{3}}$$