Интеграл sin(x)*exp(-x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |          -x   
     |  sin(x)*e   dx
     |               
    /                
    0                
    01exsin(x)dx\int\limits_{0}^{1} e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=xu = - x.

        Тогда пусть du=dxdu = - dx и подставим dudu:

        eusin(u)du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du

        1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

          1. Для подинтегрального выражения eusin(u)e^{u} \sin{\left(u \right)}:

            пусть u(u)=sin(u)u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)} и пусть dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Затем eusin(u)du=eusin(u)eucos(u)du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du.

          2. Для подинтегрального выражения eucos(u)e^{u} \cos{\left(u \right)}:

            пусть u(u)=cos(u)u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)} и пусть dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Затем eusin(u)du=eusin(u)eucos(u)+(eusin(u))du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du.

          3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

            2eusin(u)du=eusin(u)eucos(u)2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}

            Поэтому,

            eusin(u)du=eusin(u)2eucos(u)2\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        exsin(x)2excos(x)2- \frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- x} \cos{\left(x \right)}}{2}

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

        1. Для подинтегрального выражения exsin(x)e^{- x} \sin{\left(x \right)}:

          пусть u(x)=sin(x)u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} и пусть dv(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}.

          Затем exsin(x)dx=(excos(x))dxexsin(x)\int e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \int \left(- e^{- x} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx - e^{- x} \sin{\left(x \right)}.

        2. Для подинтегрального выражения excos(x)- e^{- x} \cos{\left(x \right)}:

          пусть u(x)=cos(x)u{\left(x \right)} = - \cos{\left(x \right)} и пусть dv(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}.

          Затем exsin(x)dx=(exsin(x))dxexsin(x)excos(x)\int e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- e^{- x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx - e^{- x} \sin{\left(x \right)} - e^{- x} \cos{\left(x \right)}.

        3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

          2exsin(x)dx=exsin(x)excos(x)2 \int e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - e^{- x} \sin{\left(x \right)} - e^{- x} \cos{\left(x \right)}

          Поэтому,

          exsin(x)dx=exsin(x)2excos(x)2\int e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx = - \frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- x} \cos{\left(x \right)}}{2}

    2. Теперь упростить:

      2exsin(x+π4)2- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      2exsin(x+π4)2+constant- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    2exsin(x+π4)2+constant- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.0-1.0
    Ответ [src]
                -1    -1       
    1   cos(1)*e     e  *sin(1)
    - - ---------- - ----------
    2       2            2     
    sin(1)2ecos(1)2e+12- \frac{\sin{\left(1 \right)}}{2 e} - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{2 e} + \frac{1}{2}
    =
    =
                -1    -1       
    1   cos(1)*e     e  *sin(1)
    - - ---------- - ----------
    2       2            2     
    sin(1)2ecos(1)2e+12- \frac{\sin{\left(1 \right)}}{2 e} - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{2 e} + \frac{1}{2}
    Численный ответ [src]
    0.245837007000237
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                           
     |                             -x    -x       
     |         -x          cos(x)*e     e  *sin(x)
     | sin(x)*e   dx = C - ---------- - ----------
     |                         2            2     
    /                                             
    exsin(x)dx=Cexsin(x)2excos(x)2\int e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- x} \cos{\left(x \right)}}{2}
    График
    Интеграл sin(x)*exp(-x) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/d/5e/aa8fad04f2aafed24d684b587b263.png