Интеграл sin(x)*e^x (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |          x   
 |  sin(x)*E  dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $e^{x} \sin{\left (x \right )} = e^{x} \sin{\left (x \right )}$

2. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

   1. Для подинтегрального выражения $e^{x} \sin{\left (x \right )}$:

      пусть $u{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{x}$.

      Затем $\int e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx = e^{x} \sin{\left (x \right )} - \int e^{x} \cos{\left (x \right )}\, dx$.

   2. Для подинтегрального выражения $e^{x} \cos{\left (x \right )}$:

      пусть $u{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{x}$.

      Затем $\int e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx = e^{x} \sin{\left (x \right )} - e^{x} \cos{\left (x \right )} + \int - e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx$.

   3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

      $2 \int e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx = e^{x} \sin{\left (x \right )} - e^{x} \cos{\left (x \right )}$

      Поэтому,

      $\int e^{x} \sin{\left (x \right )}\, dx = \frac{e^{x}}{2} \sin{\left (x \right )} - \frac{e^{x}}{2} \cos{\left (x \right )}$

3. Теперь упростить:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{x}}{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{x}}{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2} e^{x}}{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                       
  /                                       
 |                                        
 |          x      1   E*sin(1)   E*cos(1)
 |  sin(x)*E  dx = - + -------- - --------
 |                 2      2          2    
/                                         
0                                         

$${{\sin 1\,E\,\log E-\cos 1\,E}\over{\left(\log E\right)^2+1}}+{{1 }\over{\left(\log E\right)^2+1}}$$

Численный ответ

0.909330673631479

Ответ (Неопределённый)

  /                                        
 |                     x                  x
 |         x          e *sin(x)   cos(x)*e 
 | sin(x)*E  dx = C + --------- - ---------
 |                        2           2    
/                                          

$${{\log E\,e^{\log E\,x}\,\sin x-e^{\log E\,x}\,\cos x}\over{\left( \log E\right)^2+1}}$$