Интеграл sin(x)^9 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     9      
 |  sin (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \sin^{9}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{9}{\left (x \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{4} \sin{\left (x \right )}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{4} \sin{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} \cos^{8}{\left (x \right )} - 4 \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )} + 6 \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )} - 4 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

3. Интегрируем почленно:

   1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

      $\int u^{8}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{9}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{9} \cos^{9}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 4 \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )}\, dx = - 4 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{6}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{7} \cos^{7}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{4}{7} \cos^{7}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 6 \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )}\, dx = 6 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{5} \cos^{5}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{6}{5} \cos^{5}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 4 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = - 4 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{4}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{9} \cos^{9}{\left (x \right )} + \frac{4}{7} \cos^{7}{\left (x \right )} - \frac{6}{5} \cos^{5}{\left (x \right )} + \frac{4}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

4. Теперь упростить:

   $\frac{1}{315} \left(- 378 \sin^{4}{\left (x \right )} - 35 \cos^{8}{\left (x \right )} + 180 \cos^{6}{\left (x \right )} - 336 \cos^{2}{\left (x \right )} + 63\right) \cos{\left (x \right )}$

5. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{315} \left(- 378 \sin^{4}{\left (x \right )} - 35 \cos^{8}{\left (x \right )} + 180 \cos^{6}{\left (x \right )} - 336 \cos^{2}{\left (x \right )} + 63\right) \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{315} \left(- 378 \sin^{4}{\left (x \right )} - 35 \cos^{8}{\left (x \right )} + 180 \cos^{6}{\left (x \right )} - 336 \cos^{2}{\left (x \right )} + 63\right) \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                        
  /                                                                        
 |                                   5         9           3           7   
 |     9         128            6*cos (1)   cos (1)   4*cos (1)   4*cos (1)
 |  sin (x) dx = --- - cos(1) - --------- - ------- + --------- + ---------
 |               315                5          9          3           7    
/                                                                          
0                                                                          

$${{128}\over{315}}-{{35\,\cos ^91-180\,\cos ^71+378\,\cos ^51-420\, \cos ^31+315\,\cos 1}\over{315}}$$

Численный ответ

0.028342532187773

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                     
 |                                5         9           3           7   
 |    9                      6*cos (x)   cos (x)   4*cos (x)   4*cos (x)
 | sin (x) dx = C - cos(x) - --------- - ------- + --------- + ---------
 |                               5          9          3           7    
/                                                                       

$$-{{\cos ^9x}\over{9}}+{{4\,\cos ^7x}\over{7}}-{{6\,\cos ^5x}\over{5 }}+{{4\,\cos ^3x}\over{3}}-\cos x$$