Интеграл sin(x)^(2)-cos(x) (dx)

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{2}{\left (x \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \sin{\left (x \right )}$

   Результат есть: $\frac{x}{2} - \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} - \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{2} - \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                   
  /                                                   
 |                                                    
 |  /   2            \      1            cos(1)*sin(1)
 |  \sin (x) - cos(x)/ dx = - - sin(1) - -------------
 |                          2                  2      
/                                                     
0                                                     

$$-{{\sin 2+4\,\sin 1-2}\over{4}}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                                                 
 |                                                  
 | /   2            \          x            sin(2*x)
 | \sin (x) - cos(x)/ dx = C + - - sin(x) - --------
 |                             2               4    
/                                                   

$${{x-{{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}}\over{2}}-\sin x$$