Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл sin(x)^(2)-cos(x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Подробное решение

    1. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        sin⁡2(x)=−12cos⁡(2x)+12\sin^{2}{\left (x \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          ∫−12cos⁡(2x) dx=−12∫cos⁡(2x) dx\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx

          1. пусть u=2xu = 2 x.

            Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u) du\int \cos{\left (u \right )}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              ∫cos⁡(u) du=12∫cos⁡(u) du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

              Таким образом, результат будет: 12sin⁡(u)\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            12sin⁡(2x)\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}

          Таким образом, результат будет: −14sin⁡(2x)- \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        Результат есть: x2−14sin⁡(2x)\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫−cos⁡(x) dx=−∫cos⁡(x) dx\int - \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int \cos{\left (x \right )}\, dx

        1. Интеграл от косинуса есть синус:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}

        Таким образом, результат будет: −sin⁡(x)- \sin{\left (x \right )}

      Результат есть: x2−sin⁡(x)−14sin⁡(2x)\frac{x}{2} - \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      x2−sin⁡(x)−14sin⁡(2x)+constant\frac{x}{2} - \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    x2−sin⁡(x)−14sin⁡(2x)+constant\frac{x}{2} - \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}

    Ответ [src]
      1                                                   
  /                                                   
 |                                                    
 |  /   2            \      1            cos(1)*sin(1)
 |  \sin (x) - cos(x)/ dx = - - sin(1) - -------------
 |                          2                  2      
/                                                     
0
    −sin⁡2+4 sin⁡1−24-{{\sin 2+4\,\sin 1-2}\over{4}}
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                 
 |                                                  
 | /   2            \          x            sin(2*x)
 | \sin (x) - cos(x)/ dx = C + - - sin(x) - --------
 |                             2               4    
/
    x−sin⁡(2 x)22−sin⁡x{{x-{{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}}\over{2}}-\sin x
    Упростить