Интеграл sin(x)^(22) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     22      
 |  sin  (x) dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \sin^{22}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{22}{\left (x \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{11}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{11} = - \frac{1}{2048} \cos^{11}{\left (2 x \right )} + \frac{11}{2048} \cos^{10}{\left (2 x \right )} - \frac{55}{2048} \cos^{9}{\left (2 x \right )} + \frac{165}{2048} \cos^{8}{\left (2 x \right )} - \frac{165}{1024} \cos^{7}{\left (2 x \right )} + \frac{231}{1024} \cos^{6}{\left (2 x \right )} - \frac{231}{1024} \cos^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{165}{1024} \cos^{4}{\left (2 x \right )} - \frac{165}{2048} \cos^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{55}{2048} \cos^{2}{\left (2 x \right )} - \frac{11}{2048} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2048}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{2048} \cos^{11}{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2048} \int \cos^{11}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{11}{\left (2 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{5} \cos{\left (2 x \right )}$

      2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

            $\int - \frac{1}{2} \sin^{10}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{5}{2} \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - 5 \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + 5 \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - \frac{5}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int - \frac{1}{2} \sin^{10}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{2} \int \sin^{10}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                     Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                     $\int u^{10}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{11} \sin^{11}{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{22} \sin^{11}{\left (u \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{5}{2} \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{5}{2} \int \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                     Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                     $\int u^{8}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{9} \sin^{9}{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{5}{18} \sin^{9}{\left (u \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int - 5 \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - 5 \int \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                     Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                     $\int u^{6}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{7} \sin^{7}{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{5}{7} \sin^{7}{\left (u \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int 5 \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = 5 \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                     Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                     $\int u^{4}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\sin^{5}{\left (u \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int - \frac{5}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{5}{2} \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                     Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                     $\int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{5}{6} \sin^{3}{\left (u \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

               Результат есть: $- \frac{1}{22} \sin^{11}{\left (u \right )} + \frac{5}{18} \sin^{9}{\left (u \right )} - \frac{5}{7} \sin^{7}{\left (u \right )} + \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{5}{6} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{22} \sin^{11}{\left (2 x \right )} + \frac{5}{18} \sin^{9}{\left (2 x \right )} - \frac{5}{7} \sin^{7}{\left (2 x \right )} + \sin^{5}{\left (2 x \right )} - \frac{5}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{5} \cos{\left (2 x \right )} = - \sin^{10}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )} + 5 \sin^{8}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )} - 10 \sin^{6}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )} + 10 \sin^{4}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )} - 5 \sin^{2}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )} + \cos{\left (2 x \right )}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \sin^{10}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \int \sin^{10}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

               1. пусть $u = \sin{\left (2 x \right )}$.

                  Тогда пусть $du = 2 \cos{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int u^{10}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int u^{10}\, du = \frac{1}{2} \int u^{10}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{u^{11}}{22}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{22} \sin^{11}{\left (2 x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{22} \sin^{11}{\left (2 x \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 5 \sin^{8}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = 5 \int \sin^{8}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

               1. пусть $u = \sin{\left (2 x \right )}$.

                  Тогда пусть $du = 2 \cos{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int u^{8}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int u^{8}\, du = \frac{1}{2} \int u^{8}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{u^{9}}{18}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{18} \sin^{9}{\left (2 x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{5}{18} \sin^{9}{\left (2 x \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - 10 \sin^{6}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - 10 \int \sin^{6}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

               1. пусть $u = \sin{\left (2 x \right )}$.

                  Тогда пусть $du = 2 \cos{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int u^{6}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{1}{2} \int u^{6}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{u^{7}}{14}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{14} \sin^{7}{\left (2 x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{5}{7} \sin^{7}{\left (2 x \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 10 \sin^{4}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = 10 \int \sin^{4}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

               1. пусть $u = \sin{\left (2 x \right )}$.

                  Тогда пусть $du = 2 \cos{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{1}{2} \int u^{4}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{u^{5}}{10}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{10} \sin^{5}{\left (2 x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\sin^{5}{\left (2 x \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - 5 \sin^{2}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - 5 \int \sin^{2}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

               1. пусть $u = \sin{\left (2 x \right )}$.

                  Тогда пусть $du = 2 \cos{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{1}{2} \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{6}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{5}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )}$

            1. пусть $u = 2 x$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

            Результат есть: $- \frac{1}{22} \sin^{11}{\left (2 x \right )} + \frac{5}{18} \sin^{9}{\left (2 x \right )} - \frac{5}{7} \sin^{7}{\left (2 x \right )} + \sin^{5}{\left (2 x \right )} - \frac{5}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{45056} \sin^{11}{\left (2 x \right )} - \frac{5}{36864} \sin^{9}{\left (2 x \right )} + \frac{5}{14336} \sin^{7}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2048} \sin^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{5}{12288} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{4096} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{11}{2048} \cos^{10}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{11}{2048} \int \cos^{10}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{10}{\left (2 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{5}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{1}{32} \cos^{5}{\left (4 x \right )} + \frac{5}{32} \cos^{4}{\left (4 x \right )} + \frac{5}{16} \cos^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{5}{16} \cos^{2}{\left (4 x \right )} + \frac{5}{32} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{32}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{32} \cos^{5}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{32} \int \cos^{5}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{5}{\left (4 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (4 x \right )}$

            2. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{4} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - \frac{1}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{4} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                        Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                        $\int u^{4}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{20} \sin^{5}{\left (u \right )}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{1}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{2} \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                        Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                        $\int u^{2}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (u \right )}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

                  Результат есть: $\frac{1}{20} \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{20} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{640} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{192} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{128} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{5}{32} \cos^{4}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{5}{32} \int \cos^{4}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{4}{\left (4 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{4}$

            3. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{2}{\left (8 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )} + \frac{1}{2}$

                  2. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (16 x \right )}\, dx$

                        1. пусть $u = 16 x$.

                           Тогда пусть $du = 16 dx$ и подставим $\frac{du}{16}$:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{16} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                                 $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (u \right )}$

                           Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                           $\frac{1}{16} \sin{\left (16 x \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{128} \sin{\left (16 x \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

               Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{1}{128} \sin{\left (16 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{15 x}{256} + \frac{5}{512} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{5}{4096} \sin{\left (16 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{5}{16} \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{5}{16} \int \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{3}{\left (4 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \cos{\left (4 x \right )}$

            2. пусть $u = \sin{\left (4 x \right )}$.

               Тогда пусть $du = 4 \cos{\left (4 x \right )} dx$ и подставим $du$:

               $\int - \frac{u^{2}}{4} + \frac{1}{4}\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{u^{2}}{4}\, du = - \frac{1}{4} \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{12}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

                  Результат есть: $- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{12} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{5}{192} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{5}{64} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{5}{16} \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{5}{16} \int \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left (4 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{5 x}{32} + \frac{5}{256} \sin{\left (8 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{5}{32} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{5}{32} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{5}{128} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{32}\, dx = \frac{x}{32}$

         Результат есть: $\frac{63 x}{256} + \frac{1}{640} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{32} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{15}{512} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{5}{4096} \sin{\left (16 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{693 x}{524288} + \frac{11}{1310720} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{11}{65536} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{11}{16384} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{165}{1048576} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{55}{8388608} \sin{\left (16 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{55}{2048} \cos^{9}{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{55}{2048} \int \cos^{9}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{9}{\left (2 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{4} \cos{\left (2 x \right )}$

      2. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{2} \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - 2 \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + 3 \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - 2 \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{8}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{9} \sin^{9}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{18} \sin^{9}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - 2 \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - 2 \int \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{6}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{7} \sin^{7}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{2}{7} \sin^{7}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 3 \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = 3 \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{3}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - 2 \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - 2 \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Результат есть: $\frac{1}{18} \sin^{9}{\left (u \right )} - \frac{2}{7} \sin^{7}{\left (u \right )} + \frac{3}{5} \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{18} \sin^{9}{\left (2 x \right )} - \frac{2}{7} \sin^{7}{\left (2 x \right )} + \frac{3}{5} \sin^{5}{\left (2 x \right )} - \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{55}{36864} \sin^{9}{\left (2 x \right )} + \frac{55}{7168} \sin^{7}{\left (2 x \right )} - \frac{33}{2048} \sin^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{55}{3072} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{55}{4096} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{165}{2048} \cos^{8}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{165}{2048} \int \cos^{8}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{8}{\left (2 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{4}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16} \cos^{4}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \cos^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{16}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{16} \cos^{4}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{16} \int \cos^{4}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{4}{\left (4 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{4}$

            3. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{2}{\left (8 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )} + \frac{1}{2}$

                  2. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (16 x \right )}\, dx$

                        1. пусть $u = 16 x$.

                           Тогда пусть $du = 16 dx$ и подставим $\frac{du}{16}$:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{16} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                                 $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (u \right )}$

                           Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                           $\frac{1}{16} \sin{\left (16 x \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{128} \sin{\left (16 x \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

               Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{1}{128} \sin{\left (16 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{128} + \frac{1}{256} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2048} \sin{\left (16 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{4} \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{3}{\left (4 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \cos{\left (4 x \right )}$

            2. пусть $u = \sin{\left (4 x \right )}$.

               Тогда пусть $du = 4 \cos{\left (4 x \right )} dx$ и подставим $du$:

               $\int - \frac{u^{2}}{4} + \frac{1}{4}\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{u^{2}}{4}\, du = - \frac{1}{4} \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{12}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

                  Результат есть: $- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{12} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{48} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{16} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{3}{8} \int \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left (4 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3}{128} \sin{\left (8 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{4} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$

         Результат есть: $\frac{35 x}{128} - \frac{1}{48} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{7}{256} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2048} \sin{\left (16 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{5775 x}{262144} - \frac{55}{32768} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{165}{16384} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1155}{524288} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{165}{4194304} \sin{\left (16 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{165}{1024} \cos^{7}{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{165}{1024} \int \cos^{7}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{7}{\left (2 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{3} \cos{\left (2 x \right )}$

      2. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

         $\int - \frac{1}{2} \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{3}{2} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - \frac{3}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{2} \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{2} \int \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{6}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{7} \sin^{7}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{14} \sin^{7}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{3}{2} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{3}{2} \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{3}{10} \sin^{5}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{3}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{3}{2} \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \sin^{3}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Результат есть: $- \frac{1}{14} \sin^{7}{\left (u \right )} + \frac{3}{10} \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{1}{2} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{14} \sin^{7}{\left (2 x \right )} + \frac{3}{10} \sin^{5}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{165}{14336} \sin^{7}{\left (2 x \right )} - \frac{99}{2048} \sin^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{165}{2048} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{165}{2048} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{231}{1024} \cos^{6}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{231}{1024} \int \cos^{6}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{6}{\left (2 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{3}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8} \cos^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (4 x \right )} + \frac{3}{8} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{8}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{8} \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{8} \int \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{3}{\left (4 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \cos{\left (4 x \right )}$

            2. пусть $u = \sin{\left (4 x \right )}$.

               Тогда пусть $du = 4 \cos{\left (4 x \right )} dx$ и подставим $du$:

               $\int - \frac{u^{2}}{4} + \frac{1}{4}\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{u^{2}}{4}\, du = - \frac{1}{4} \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{12}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

                  Результат есть: $- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{12} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{96} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{32} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{3}{8} \int \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left (4 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3}{128} \sin{\left (8 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3}{8} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{3}{8} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3}{32} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

         Результат есть: $\frac{5 x}{16} - \frac{1}{96} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{3}{128} \sin{\left (8 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1155 x}{16384} - \frac{77}{32768} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{231}{8192} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{693}{131072} \sin{\left (8 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{231}{1024} \cos^{5}{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{231}{1024} \int \cos^{5}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{5}{\left (2 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (2 x \right )}$

      2. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{2} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{10} \sin^{5}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Результат есть: $\frac{1}{10} \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{10} \sin^{5}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{231}{10240} \sin^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{77}{1024} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{231}{2048} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{165}{1024} \cos^{4}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{165}{1024} \int \cos^{4}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{4}{\left (2 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left (4 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{64} \sin{\left (8 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

         Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{64} \sin{\left (8 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{495 x}{8192} + \frac{165}{8192} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{165}{65536} \sin{\left (8 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{165}{2048} \cos^{3}{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{165}{2048} \int \cos^{3}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{3}{\left (2 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \cos{\left (2 x \right )}$

      2. пусть $u = \sin{\left (2 x \right )}$.

         Тогда пусть $du = 2 \cos{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $du$:

         $\int - \frac{u^{2}}{2} + \frac{1}{2}\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{u^{2}}{2}\, du = - \frac{1}{2} \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

            Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{55}{4096} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{165}{4096} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{55}{2048} \cos^{2}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{55}{2048} \int \cos^{2}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{2}{\left (2 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{55 x}{4096} + \frac{55}{16384} \sin{\left (4 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{11}{2048} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{11}{2048} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{11}{4096} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{2048}\, dx = \frac{x}{2048}$

   Результат есть: $\frac{88179 x}{524288} + \frac{1}{45056} \sin^{11}{\left (2 x \right )} - \frac{5}{3072} \sin^{9}{\left (2 x \right )} + \frac{5}{256} \sin^{7}{\left (2 x \right )} - \frac{7}{80} \sin^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{3}{16} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{11}{1310720} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{275}{65536} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1023}{16384} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{10659}{1048576} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{385}{8388608} \sin{\left (16 x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{88179 x}{524288} + \frac{1}{45056} \sin^{11}{\left (2 x \right )} - \frac{5}{3072} \sin^{9}{\left (2 x \right )} + \frac{5}{256} \sin^{7}{\left (2 x \right )} - \frac{7}{80} \sin^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{3}{16} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{11}{1310720} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{275}{65536} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1023}{16384} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{10659}{1048576} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{385}{8388608} \sin{\left (16 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{88179 x}{524288} + \frac{1}{45056} \sin^{11}{\left (2 x \right )} - \frac{5}{3072} \sin^{9}{\left (2 x \right )} + \frac{5}{256} \sin^{7}{\left (2 x \right )} - \frac{7}{80} \sin^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{3}{16} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{11}{1310720} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{275}{65536} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1023}{16384} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{10659}{1048576} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{385}{8388608} \sin{\left (16 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                                                                                                                                                                                                                       
  /                                                                                                                                                                                                                                                                       
 |                                                        3                      5                      7                     9                     11                     15                    13                    17                   19                21          
 |     22         88179    88179*cos(1)*sin(1)   29393*sin (1)*cos(1)   29393*sin (1)*cos(1)   12597*sin (1)*cos(1)   4199*sin (1)*cos(1)   4199*sin  (1)*cos(1)   2261*sin  (1)*cos(1)   323*sin  (1)*cos(1)   133*sin  (1)*cos(1)   21*sin  (1)*cos(1)   sin  (1)*cos(1)
 |  sin  (x) dx = ------ - ------------------- - -------------------- - -------------------- - -------------------- - ------------------- - -------------------- - -------------------- - ------------------- - ------------------- - ------------------ - ---------------
 |                524288          524288                262144                 327680                 163840                 61440                 67584                  42240                   5632                  2640                 440                  22      
/                                                                                                                                                                                                                                                                         
0                                                                                                                                                                                                                                                                         

$${{63525\,\sin 16+14069880\,\sin 8+11616\,\sin ^54-5808000\,\sin ^34 [phone]\,\sin 4+30720\,\sin ^{11}2-2252800\,\sin ^92+27033600\, \sin ^72-121110528\,\sin ^52+259522560\,\sin ^32-346030080\,\sin 2+ 232792560}\over{1384120320}}$$

Численный ответ

0.00140026882208537

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                                                                                                         
 |                          3             5             9                      11             3             7              5                                                                
 |    22             275*sin (4*x)   7*sin (2*x)   5*sin (2*x)   sin(2*x)   sin  (2*x)   3*sin (2*x)   5*sin (2*x)   11*sin (4*x)   385*sin(16*x)   1023*sin(4*x)   10659*sin(8*x)   88179*x
 | sin  (x) dx = C - ------------- - ----------- - ----------- - -------- + ---------- + ----------- + ----------- + ------------ + ------------- + ------------- + -------------- + -------
 |                       65536            80           3072         4         45056           16           256         1310720         8388608          16384          1048576        524288
/                                                                                                                                                                                           

$${{{{11\,\left({{5\,\left({{{{\sin \left(16\,x\right)}\over{2}}+8\,x }\over{8}}+{{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+2\,x\right)}\over{64}} +{{5\,\left({{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+4\,x\right)}\over{32 }}+{{{{\sin ^5\left(4\,x\right)}\over{5}}-{{2\,\sin ^3\left(4\,x \right)}\over{3}}+\sin \left(4\,x\right)}\over{32}}+{{5\,\left(\sin \left(4\,x\right)-{{\sin ^3\left(4\,x\right)}\over{3}}\right)}\over{ 16}}+{{5\,\sin \left(4\,x\right)}\over{32}}+{{x}\over{8}}\right) }\over{4096}}+{{165\,\left({{{{{{\sin \left(16\,x\right)}\over{2}}+8 \,x}\over{8}}+{{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+2\,x}\over{32}}+{{3 \,\left({{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+4\,x\right)}\over{16}}+{{ \sin \left(4\,x\right)-{{\sin ^3\left(4\,x\right)}\over{3}}}\over{4 }}+{{\sin \left(4\,x\right)}\over{4}}+{{x}\over{4}}\right)}\over{ 4096}}+{{231\,\left({{3\,\left({{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+4 \,x\right)}\over{16}}+{{\sin \left(4\,x\right)-{{\sin ^3\left(4\,x \right)}\over{3}}}\over{8}}+{{3\,\sin \left(4\,x\right)}\over{8}}+{{ x}\over{2}}\right)}\over{2048}}+{{165\,\left({{{{\sin \left(8\,x \right)}\over{2}}+4\,x}\over{8}}+{{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}+ x\right)}\over{2048}}+{{55\,\left({{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}} +2\,x\right)}\over{4096}}-{{-{{\sin ^{11}\left(2\,x\right)}\over{11 }}+{{5\,\sin ^9\left(2\,x\right)}\over{9}}-{{10\,\sin ^7\left(2\,x \right)}\over{7}}+2\,\sin ^5\left(2\,x\right)-{{5\,\sin ^3\left(2\,x \right)}\over{3}}+\sin \left(2\,x\right)}\over{2048}}-{{55\,\left({{ \sin ^9\left(2\,x\right)}\over{9}}-{{4\,\sin ^7\left(2\,x\right) }\over{7}}+{{6\,\sin ^5\left(2\,x\right)}\over{5}}-{{4\,\sin ^3 \left(2\,x\right)}\over{3}}+\sin \left(2\,x\right)\right)}\over{2048 }}-{{165\,\left(-{{\sin ^7\left(2\,x\right)}\over{7}}+{{3\,\sin ^5 \left(2\,x\right)}\over{5}}-\sin ^3\left(2\,x\right)+\sin \left(2\,x \right)\right)}\over{1024}}-{{231\,\left({{\sin ^5\left(2\,x\right) }\over{5}}-{{2\,\sin ^3\left(2\,x\right)}\over{3}}+\sin \left(2\,x \right)\right)}\over{1024}}-{{165\,\left(\sin \left(2\,x\right)-{{ \sin ^3\left(2\,x\right)}\over{3}}\right)}\over{2048}}-{{11\,\sin \left(2\,x\right)}\over{2048}}+{{x}\over{1024}}}\over{2}}$$