Интеграл sin(x)^(23) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     23      
 |  sin  (x) dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \sin^{23}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{23}{\left (x \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{11} \sin{\left (x \right )}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{11} \sin{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )} \cos^{22}{\left (x \right )} + 11 \sin{\left (x \right )} \cos^{20}{\left (x \right )} - 55 \sin{\left (x \right )} \cos^{18}{\left (x \right )} + 165 \sin{\left (x \right )} \cos^{16}{\left (x \right )} - 330 \sin{\left (x \right )} \cos^{14}{\left (x \right )} + 462 \sin{\left (x \right )} \cos^{12}{\left (x \right )} - 462 \sin{\left (x \right )} \cos^{10}{\left (x \right )} + 330 \sin{\left (x \right )} \cos^{8}{\left (x \right )} - 165 \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )} + 55 \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )} - 11 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \sin{\left (x \right )} \cos^{22}{\left (x \right )}\, dx = - \int \sin{\left (x \right )} \cos^{22}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{22}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{22}\, du = - \int u^{22}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{22}\, du = \frac{u^{23}}{23}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{23}}{23}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{23} \cos^{23}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{23} \cos^{23}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 11 \sin{\left (x \right )} \cos^{20}{\left (x \right )}\, dx = 11 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{20}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{20}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{20}\, du = - \int u^{20}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{21}}{21}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{21} \cos^{21}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{11}{21} \cos^{21}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 55 \sin{\left (x \right )} \cos^{18}{\left (x \right )}\, dx = - 55 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{18}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{18}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{18}\, du = - \int u^{18}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{19}}{19}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{19} \cos^{19}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{55}{19} \cos^{19}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 165 \sin{\left (x \right )} \cos^{16}{\left (x \right )}\, dx = 165 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{16}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{16}\, du = - \int u^{16}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{17}}{17}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{17} \cos^{17}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{165}{17} \cos^{17}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 330 \sin{\left (x \right )} \cos^{14}{\left (x \right )}\, dx = - 330 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{14}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{14}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{14}\, du = - \int u^{14}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{15}}{15}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{15} \cos^{15}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $22 \cos^{15}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 462 \sin{\left (x \right )} \cos^{12}{\left (x \right )}\, dx = 462 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{12}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{12}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{12}\, du = - \int u^{12}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{13}}{13}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{13} \cos^{13}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{462}{13} \cos^{13}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 462 \sin{\left (x \right )} \cos^{10}{\left (x \right )}\, dx = - 462 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{10}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{10}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{10}\, du = - \int u^{10}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{11}}{11}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{11} \cos^{11}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $42 \cos^{11}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 330 \sin{\left (x \right )} \cos^{8}{\left (x \right )}\, dx = 330 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{8}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{8}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{9}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{9} \cos^{9}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{110}{3} \cos^{9}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 165 \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )}\, dx = - 165 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{6}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{7} \cos^{7}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{165}{7} \cos^{7}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 55 \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )}\, dx = 55 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{5} \cos^{5}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 11 \cos^{5}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 11 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = - 11 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{11}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

   Результат есть: $\frac{1}{23} \cos^{23}{\left (x \right )} - \frac{11}{21} \cos^{21}{\left (x \right )} + \frac{55}{19} \cos^{19}{\left (x \right )} - \frac{165}{17} \cos^{17}{\left (x \right )} + 22 \cos^{15}{\left (x \right )} - \frac{462}{13} \cos^{13}{\left (x \right )} + 42 \cos^{11}{\left (x \right )} - \frac{110}{3} \cos^{9}{\left (x \right )} + \frac{165}{7} \cos^{7}{\left (x \right )} - 11 \cos^{5}{\left (x \right )} + \frac{11}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

4. Теперь упростить:

   $\frac{1}{2028117} \left(88179 \cos^{22}{\left (x \right )} - 1062347 \cos^{20}{\left (x \right )} + 5870865 \cos^{18}{\left (x \right )} - 19684665 \cos^{16}{\left (x \right )} + 44618574 \cos^{14}{\left (x \right )} - 72076158 \cos^{12}{\left (x \right )} + 85180914 \cos^{10}{\left (x \right )} - 74364290 \cos^{8}{\left (x \right )} + 47805615 \cos^{6}{\left (x \right )} - 22309287 \cos^{4}{\left (x \right )} + 7436429 \cos^{2}{\left (x \right )} - 2028117\right) \cos{\left (x \right )}$

5. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2028117} \left(88179 \cos^{22}{\left (x \right )} - 1062347 \cos^{20}{\left (x \right )} + 5870865 \cos^{18}{\left (x \right )} - 19684665 \cos^{16}{\left (x \right )} + 44618574 \cos^{14}{\left (x \right )} - 72076158 \cos^{12}{\left (x \right )} + 85180914 \cos^{10}{\left (x \right )} - 74364290 \cos^{8}{\left (x \right )} + 47805615 \cos^{6}{\left (x \right )} - 22309287 \cos^{4}{\left (x \right )} + 7436429 \cos^{2}{\left (x \right )} - 2028117\right) \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2028117} \left(88179 \cos^{22}{\left (x \right )} - 1062347 \cos^{20}{\left (x \right )} + 5870865 \cos^{18}{\left (x \right )} - 19684665 \cos^{16}{\left (x \right )} + 44618574 \cos^{14}{\left (x \right )} - 72076158 \cos^{12}{\left (x \right )} + 85180914 \cos^{10}{\left (x \right )} - 74364290 \cos^{8}{\left (x \right )} + 47805615 \cos^{6}{\left (x \right )} - 22309287 \cos^{4}{\left (x \right )} + 7436429 \cos^{2}{\left (x \right )} - 2028117\right) \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                                                                                                                                      
  /                                                                                                                                                                                      
 |                                                                                   13             17             9            21         23            3            19             7   
 |     23          524288                  5            15            11      462*cos  (1)   165*cos  (1)   110*cos (1)   11*cos  (1)   cos  (1)   11*cos (1)   55*cos  (1)   165*cos (1)
 |  sin  (x) dx = ------- - cos(1) - 11*cos (1) + 22*cos  (1) + 42*cos  (1) - ------------ - ------------ - ----------- - ----------- + -------- + ---------- + ----------- + -----------
 |                2028117                                                          13             17             3             21          23          3             19            7     
/                                                                                                                                                                                        
0                                                                                                                                                                                        

$${{88179\,\cos ^{23}1-1062347\,\cos ^{21}1+5870865\,\cos ^{19}1- 19684665\,\cos ^{17}1+44618574\,\cos ^{15}1-72076158\,\cos ^{13}1+ 85180914\,\cos ^{11}1-74364290\,\cos ^91+47805615\,\cos ^71-22309287 \,\cos ^51+7436429\,\cos ^31-2028117\,\cos 1}\over{2028117}}+{{ 524288}\over{2028117}}$$

Численный ответ

0.00113226705117183

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                                                                                               
 |                                                                            13             17             9            21         23            3            19             7   
 |    23                            5            15            11      462*cos  (x)   165*cos  (x)   110*cos (x)   11*cos  (x)   cos  (x)   11*cos (x)   55*cos  (x)   165*cos (x)
 | sin  (x) dx = C - cos(x) - 11*cos (x) + 22*cos  (x) + 42*cos  (x) - ------------ - ------------ - ----------- - ----------- + -------- + ---------- + ----------- + -----------
 |                                                                          13             17             3             21          23          3             19            7     
/                                                                                                                                                                                 

$${{88179\,\cos ^{23}x-1062347\,\cos ^{21}x+5870865\,\cos ^{19}x- 19684665\,\cos ^{17}x+44618574\,\cos ^{15}x-72076158\,\cos ^{13}x+ 85180914\,\cos ^{11}x-74364290\,\cos ^9x+47805615\,\cos ^7x-22309287 \,\cos ^5x+7436429\,\cos ^3x-2028117\,\cos x}\over{2028117}}$$