Интеграл (sin(x))^-1 (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |  sin(x)   
 |           
/            
0            

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /           
 |            
 |     1      
 | 1*------ dx
 |   sin(x)   
 |            
/             

Подинтегральная функция

  1   
------
sin(x)

Домножим числитель и знаменатель на

sin(x)

получим

  1      1*sin(1*x)
------ = ----------
sin(x)      2      
         sin (1*x) 

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2             2   
sin (x) = 1 - cos (x)

преобразуем знаменатель

1*sin(1*x)     1*sin(1*x) 
---------- = -------------
   2                2     
sin (1*x)    1 - cos (1*x)

сделаем замену

u = cos(x)

тогда интеграл

  /                  
 |                   
 |   1*sin(1*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (1*x)     
 |                   
/                    
  

  /                  
 |                   
 |   1*sin(1*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (1*x)     
 |                   
/                    
  

Т.к. du = -dx*sin(x)

  /                
 |                 
 |   1*sin(1*x)    
 | ------------- du
 |        2        
 | 1 - cos (1*x)   
 |                 
/                  

Перепишем подинтегральную функцию

  1*sin(1*x)    1*-1 /  1       1  \
------------- = ----*|----- + -----|
       2         2   \1 - u   1 + u/
1 - cos (1*x)                       

тогда

                          /             /          
                         |             |           
                         |   1         |   1       
                         | ----- du    | ----- du  
  /                      | 1 + u       | 1 - u     
 |                       |             |           
 |   1*sin(1*x)         /             /           =
 | ------------- du = - ----------- - -----------  
 |        2                  2             2       
 | 1 - cos (1*x)                                   
 |                                                 
/                                                  
  

= u*sin(x)/(1 - cos(x)^2)

делаем обратную замену

u = cos(x)

Ответ

  /                                                     
 |                                                      
 |     1         log(-1 + cos(x))   log(1 + cos(x))     
 | 1*------ dx = ---------------- - --------------- + C0
 |   sin(x)             2                  2            
 |                                                      
/                                                       

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ

     pi*I
oo + ----
      2  

$$\infty + \frac{i \pi}{2}$$

=

=

     pi*I
oo + ----
      2  

$$\infty + \frac{i \pi}{2}$$

Численный ответ

44.1790108686112

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                                                   
 |   1             log(-1 + cos(x))   log(1 + cos(x))
 | ------ dx = C + ---------------- - ---------------
 | sin(x)                 2                  2       
 |                                                   
/                                                    

$$\int \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$$