Интеграл sin(x^(1/2)) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |     /  ___\   
 |  sin\\/ x / dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \sin{\left (\sqrt{x} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = \sqrt{x}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ и подставим $2 du$:

   $\int u \sin{\left (u \right )}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int u \sin{\left (u \right )}\, du = 2 \int u \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = \sin{\left (u \right )}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \cos{\left (u \right )}\, du = - \int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \sin{\left (u \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 2 u \cos{\left (u \right )} + 2 \sin{\left (u \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- 2 \sqrt{x} \cos{\left (\sqrt{x} \right )} + 2 \sin{\left (\sqrt{x} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- 2 \sqrt{x} \cos{\left (\sqrt{x} \right )} + 2 \sin{\left (\sqrt{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- 2 \sqrt{x} \cos{\left (\sqrt{x} \right )} + 2 \sin{\left (\sqrt{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                     
  /                                     
 |                                      
 |     /  ___\                          
 |  sin\\/ x / dx = -2*cos(1) + 2*sin(1)
 |                                      
/                                       
0                                       

$$2\,\sin 1-2\,\cos 1$$

Численный ответ

0.602337357879514

Ответ (Неопределённый)

  /                                                     
 |                                                      
 |    /  ___\               /  ___\       ___    /  ___\
 | sin\\/ x / dx = C + 2*sin\\/ x / - 2*\/ x *cos\\/ x /
 |                                                      
/                                                       

$$2\,\left(\sin \sqrt{x}-\cos \sqrt{x}\,\sqrt{x}\right)$$