Интеграл sin(x^(1/3)) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |     /3 ___\   
 |  sin\\/ x / dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \sin{\left (\sqrt[3]{x} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = \sqrt[3]{x}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ и подставим $3 du$:

   $\int u^{2} \sin{\left (u \right )}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int u^{2} \sin{\left (u \right )}\, du = 3 \int u^{2} \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = u^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = \sin{\left (u \right )}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 2 u$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = - 2 u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = -2$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 2 \sin{\left (u \right )}\, du = - 2 \int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $2 \cos{\left (u \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 3 u^{2} \cos{\left (u \right )} + 6 u \sin{\left (u \right )} + 6 \cos{\left (u \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- 3 x^{\frac{2}{3}} \cos{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 6 \sqrt[3]{x} \sin{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 6 \cos{\left (\sqrt[3]{x} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- 3 x^{\frac{2}{3}} \cos{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 6 \sqrt[3]{x} \sin{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 6 \cos{\left (\sqrt[3]{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- 3 x^{\frac{2}{3}} \cos{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 6 \sqrt[3]{x} \sin{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 6 \cos{\left (\sqrt[3]{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                         
  /                                         
 |                                          
 |     /3 ___\                              
 |  sin\\/ x / dx = -6 + 3*cos(1) + 6*sin(1)
 |                                          
/                                           
0                                           

$$6\,\sin 1+3\,\cos 1-6$$

Численный ответ

0.669732826451798

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                         
 |                                                                          
 |    /3 ___\               /3 ___\      2/3    /3 ___\     3 ___    /3 ___\
 | sin\\/ x / dx = C + 6*cos\\/ x / - 3*x   *cos\\/ x / + 6*\/ x *sin\\/ x /
 |                                                                          
/                                                                           

$$3\,\left(\cos x^{{{1}\over{3}}}\,\left(2-x^{{{2}\over{3}}}\right)+2 \,\sin x^{{{1}\over{3}}}\,x^{{{1}\over{3}}}\right)$$