Интеграл (sin(x))^5 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  sin (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \sin^{5}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{5}{\left (x \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \sin{\left (x \right )}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \sin{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )} - 2 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

3. Интегрируем почленно:

   1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

      $\int u^{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{5} \cos^{5}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 2 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = - 2 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{2}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{5} \cos^{5}{\left (x \right )} + \frac{2}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{5} \cos^{5}{\left (x \right )} + \frac{2}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{5} \cos^{5}{\left (x \right )} + \frac{2}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                               
  /                                               
 |                                5           3   
 |     5         8             cos (1)   2*cos (1)
 |  sin (x) dx = -- - cos(1) - ------- + ---------
 |               15               5          3    
/                                                 
0                                                 

$${{8}\over{15}}-{{3\,\cos ^51-10\,\cos ^31+15\,\cos 1}\over{15}}$$

Численный ответ

0.0889743964515759

Ответ (Неопределённый)

  /                                             
 |                              5           3   
 |    5                      cos (x)   2*cos (x)
 | sin (x) dx = C - cos(x) - ------- + ---------
 |                              5          3    
/                                               

$$-{{\cos ^5x}\over{5}}+{{2\,\cos ^3x}\over{3}}-\cos x$$