Интеграл (sin(x))^7 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     7      
 |  sin (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{7}{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{6}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\cos^{3}{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Результат есть: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{6}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\cos^{3}{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Результат есть: $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                             5         7   
16      3               3*cos (1)   cos (1)
-- + cos (1) - cos(1) - --------- + -------
35                          5          7   

$$- \cos{\left(1 \right)} - \frac{3 \cos^{5}{\left(1 \right)}}{5} + \frac{\cos^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \cos^{3}{\left(1 \right)} + \frac{16}{35}$$

=

=

                             5         7   
16      3               3*cos (1)   cos (1)
-- + cos (1) - cos(1) - --------- + -------
35                          5          7   

$$- \cos{\left(1 \right)} - \frac{3 \cos^{5}{\left(1 \right)}}{5} + \frac{\cos^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \cos^{3}{\left(1 \right)} + \frac{16}{35}$$

Численный ответ

0.0488623115305527

Ответ (Неопределённый)

  /                                                       
 |                                          5         7   
 |    7                3               3*cos (x)   cos (x)
 | sin (x) dx = C + cos (x) - cos(x) - --------- + -------
 |                                         5          7   
/                                                         

$$\int \sin^{7}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{3 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$

График