Интеграл sin(x)^7 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     7      
 |  sin (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \sin^{7}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{7}{\left (x \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{3} \sin{\left (x \right )}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{3} \sin{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )} + 3 \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )} - 3 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )}\, dx = - \int \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{6}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{7} \cos^{7}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{7} \cos^{7}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 3 \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )}\, dx = 3 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{5} \cos^{5}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{3}{5} \cos^{5}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 3 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = - 3 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\cos^{3}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

   Результат есть: $\frac{1}{7} \cos^{7}{\left (x \right )} - \frac{3}{5} \cos^{5}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{7} \cos^{7}{\left (x \right )} - \frac{3}{5} \cos^{5}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{7} \cos^{7}{\left (x \right )} - \frac{3}{5} \cos^{5}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                         
  /                                                         
 |                                            5         7   
 |     7         16      3               3*cos (1)   cos (1)
 |  sin (x) dx = -- + cos (1) - cos(1) - --------- + -------
 |               35                          5          7   
/                                                           
0                                                           

$${{5\,\cos ^71-21\,\cos ^51+35\,\cos ^31-35\,\cos 1}\over{35}}+{{16 }\over{35}}$$

Численный ответ

0.0488623115305527

Ответ (Неопределённый)

  /                                                       
 |                                          5         7   
 |    7                3               3*cos (x)   cos (x)
 | sin (x) dx = C + cos (x) - cos(x) - --------- + -------
 |                                         5          7   
/                                                         

$${{\cos ^7x}\over{7}}-{{3\,\cos ^5x}\over{5}}+\cos ^3x-\cos x$$