Интеграл sin(x)^(43) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     43      
 |  sin  (x) dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \sin^{43}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{43}{\left (x \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{21} \sin{\left (x \right )}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{21} \sin{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )} \cos^{42}{\left (x \right )} + 21 \sin{\left (x \right )} \cos^{40}{\left (x \right )} - 210 \sin{\left (x \right )} \cos^{38}{\left (x \right )} + 1330 \sin{\left (x \right )} \cos^{36}{\left (x \right )} - 5985 \sin{\left (x \right )} \cos^{34}{\left (x \right )} + 20349 \sin{\left (x \right )} \cos^{32}{\left (x \right )} - 54264 \sin{\left (x \right )} \cos^{30}{\left (x \right )} + 116280 \sin{\left (x \right )} \cos^{28}{\left (x \right )} - 203490 \sin{\left (x \right )} \cos^{26}{\left (x \right )} + 293930 \sin{\left (x \right )} \cos^{24}{\left (x \right )} - 352716 \sin{\left (x \right )} \cos^{22}{\left (x \right )} + 352716 \sin{\left (x \right )} \cos^{20}{\left (x \right )} - 293930 \sin{\left (x \right )} \cos^{18}{\left (x \right )} + 203490 \sin{\left (x \right )} \cos^{16}{\left (x \right )} - 116280 \sin{\left (x \right )} \cos^{14}{\left (x \right )} + 54264 \sin{\left (x \right )} \cos^{12}{\left (x \right )} - 20349 \sin{\left (x \right )} \cos^{10}{\left (x \right )} + 5985 \sin{\left (x \right )} \cos^{8}{\left (x \right )} - 1330 \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )} + 210 \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )} - 21 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \sin{\left (x \right )} \cos^{42}{\left (x \right )}\, dx = - \int \sin{\left (x \right )} \cos^{42}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{42}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{42}\, du = - \int u^{42}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{42}\, du = \frac{u^{43}}{43}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{43}}{43}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{43} \cos^{43}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{43} \cos^{43}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 21 \sin{\left (x \right )} \cos^{40}{\left (x \right )}\, dx = 21 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{40}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{40}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{40}\, du = - \int u^{40}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{40}\, du = \frac{u^{41}}{41}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{41}}{41}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{41} \cos^{41}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{21}{41} \cos^{41}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 210 \sin{\left (x \right )} \cos^{38}{\left (x \right )}\, dx = - 210 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{38}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{38}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{38}\, du = - \int u^{38}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{38}\, du = \frac{u^{39}}{39}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{39}}{39}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{39} \cos^{39}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{70}{13} \cos^{39}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 1330 \sin{\left (x \right )} \cos^{36}{\left (x \right )}\, dx = 1330 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{36}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{36}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{36}\, du = - \int u^{36}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{36}\, du = \frac{u^{37}}{37}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{37}}{37}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{37} \cos^{37}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1330}{37} \cos^{37}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 5985 \sin{\left (x \right )} \cos^{34}{\left (x \right )}\, dx = - 5985 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{34}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{34}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{34}\, du = - \int u^{34}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{34}\, du = \frac{u^{35}}{35}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{35}}{35}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{35} \cos^{35}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $171 \cos^{35}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 20349 \sin{\left (x \right )} \cos^{32}{\left (x \right )}\, dx = 20349 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{32}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{32}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{32}\, du = - \int u^{32}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{32}\, du = \frac{u^{33}}{33}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{33}}{33}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{33} \cos^{33}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{6783}{11} \cos^{33}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 54264 \sin{\left (x \right )} \cos^{30}{\left (x \right )}\, dx = - 54264 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{30}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{30}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{30}\, du = - \int u^{30}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{30}\, du = \frac{u^{31}}{31}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{31}}{31}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{31} \cos^{31}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{54264}{31} \cos^{31}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 116280 \sin{\left (x \right )} \cos^{28}{\left (x \right )}\, dx = 116280 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{28}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{28}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{28}\, du = - \int u^{28}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{28}\, du = \frac{u^{29}}{29}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{29}}{29}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{29} \cos^{29}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{116280}{29} \cos^{29}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 203490 \sin{\left (x \right )} \cos^{26}{\left (x \right )}\, dx = - 203490 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{26}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{26}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{26}\, du = - \int u^{26}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{26}\, du = \frac{u^{27}}{27}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{27}}{27}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{27} \cos^{27}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{22610}{3} \cos^{27}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 293930 \sin{\left (x \right )} \cos^{24}{\left (x \right )}\, dx = 293930 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{24}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{24}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{24}\, du = - \int u^{24}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{24}\, du = \frac{u^{25}}{25}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{25}}{25}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{25} \cos^{25}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{58786}{5} \cos^{25}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 352716 \sin{\left (x \right )} \cos^{22}{\left (x \right )}\, dx = - 352716 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{22}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{22}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{22}\, du = - \int u^{22}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{22}\, du = \frac{u^{23}}{23}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{23}}{23}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{23} \cos^{23}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{352716}{23} \cos^{23}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 352716 \sin{\left (x \right )} \cos^{20}{\left (x \right )}\, dx = 352716 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{20}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{20}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{20}\, du = - \int u^{20}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{21}}{21}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{21} \cos^{21}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 16796 \cos^{21}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 293930 \sin{\left (x \right )} \cos^{18}{\left (x \right )}\, dx = - 293930 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{18}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{18}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{18}\, du = - \int u^{18}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{19}}{19}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{19} \cos^{19}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $15470 \cos^{19}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 203490 \sin{\left (x \right )} \cos^{16}{\left (x \right )}\, dx = 203490 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{16}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{16}\, du = - \int u^{16}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{17}}{17}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{17} \cos^{17}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 11970 \cos^{17}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 116280 \sin{\left (x \right )} \cos^{14}{\left (x \right )}\, dx = - 116280 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{14}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{14}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{14}\, du = - \int u^{14}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{15}}{15}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{15} \cos^{15}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $7752 \cos^{15}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 54264 \sin{\left (x \right )} \cos^{12}{\left (x \right )}\, dx = 54264 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{12}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{12}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{12}\, du = - \int u^{12}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{13}}{13}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{13} \cos^{13}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{54264}{13} \cos^{13}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 20349 \sin{\left (x \right )} \cos^{10}{\left (x \right )}\, dx = - 20349 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{10}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{10}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{10}\, du = - \int u^{10}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{11}}{11}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{11} \cos^{11}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{20349}{11} \cos^{11}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 5985 \sin{\left (x \right )} \cos^{8}{\left (x \right )}\, dx = 5985 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{8}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{8}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{9}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{9} \cos^{9}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 665 \cos^{9}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 1330 \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )}\, dx = - 1330 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{6}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{7} \cos^{7}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $190 \cos^{7}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 210 \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )}\, dx = 210 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{5} \cos^{5}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 42 \cos^{5}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 21 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = - 21 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $7 \cos^{3}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

   Результат есть: $\frac{1}{43} \cos^{43}{\left (x \right )} - \frac{21}{41} \cos^{41}{\left (x \right )} + \frac{70}{13} \cos^{39}{\left (x \right )} - \frac{1330}{37} \cos^{37}{\left (x \right )} + 171 \cos^{35}{\left (x \right )} - \frac{6783}{11} \cos^{33}{\left (x \right )} + \frac{54264}{31} \cos^{31}{\left (x \right )} - \frac{116280}{29} \cos^{29}{\left (x \right )} + \frac{22610}{3} \cos^{27}{\left (x \right )} - \frac{58786}{5} \cos^{25}{\left (x \right )} + \frac{352716}{23} \cos^{23}{\left (x \right )} - 16796 \cos^{21}{\left (x \right )} + 15470 \cos^{19}{\left (x \right )} - 11970 \cos^{17}{\left (x \right )} + 7752 \cos^{15}{\left (x \right )} - \frac{54264}{13} \cos^{13}{\left (x \right )} + \frac{20349}{11} \cos^{11}{\left (x \right )} - 665 \cos^{9}{\left (x \right )} + 190 \cos^{7}{\left (x \right )} - 42 \cos^{5}{\left (x \right )} + 7 \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

4. Теперь упростить:

   $\frac{1}{2893136075115} \left(67282234305 \cos^{42}{\left (x \right )} - 1481850184815 \cos^{40}{\left (x \right )} + 15578425019850 \cos^{38}{\left (x \right )} - 103996512970350 \cos^{36}{\left (x \right )} + 494726268844665 \cos^{34}{\left (x \right )} - 1784012908864095 \cos^{32}{\left (x \right )} + 5064294709033560 \cos^{30}{\left (x \right )} - 11600478028081800 \cos^{28}{\left (x \right )} + 21804602219450050 \cos^{26}{\left (x \right )} - 34015179462342078 \cos^{24}{\left (x \right )} + 44367625385663580 \cos^{22}{\left (x \right )} - 48593113517631540 \cos^{20}{\left (x \right )} + 44756815082029050 \cos^{18}{\left (x \right )} - 34630838819126550 \cos^{16}{\left (x \right )} + 22427590854291480 \cos^{14}{\left (x \right )} - 12076395075387720 \cos^{12}{\left (x \right )} + 5352038726592285 \cos^{10}{\left (x \right )} - 1923935489951475 \cos^{8}{\left (x \right )} + 549695854271850 \cos^{6}{\left (x \right )} - 121511715154830 \cos^{4}{\left (x \right )} + 20251952525805 \cos^{2}{\left (x \right )} - 2893136075115\right) \cos{\left (x \right )}$

5. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2893136075115} \left(67282234305 \cos^{42}{\left (x \right )} - 1481850184815 \cos^{40}{\left (x \right )} + 15578425019850 \cos^{38}{\left (x \right )} - 103996512970350 \cos^{36}{\left (x \right )} + 494726268844665 \cos^{34}{\left (x \right )} - 1784012908864095 \cos^{32}{\left (x \right )} + 5064294709033560 \cos^{30}{\left (x \right )} - 11600478028081800 \cos^{28}{\left (x \right )} + 21804602219450050 \cos^{26}{\left (x \right )} - 34015179462342078 \cos^{24}{\left (x \right )} + 44367625385663580 \cos^{22}{\left (x \right )} - 48593113517631540 \cos^{20}{\left (x \right )} + 44756815082029050 \cos^{18}{\left (x \right )} - 34630838819126550 \cos^{16}{\left (x \right )} + 22427590854291480 \cos^{14}{\left (x \right )} - 12076395075387720 \cos^{12}{\left (x \right )} + 5352038726592285 \cos^{10}{\left (x \right )} - 1923935489951475 \cos^{8}{\left (x \right )} + 549695854271850 \cos^{6}{\left (x \right )} - 121511715154830 \cos^{4}{\left (x \right )} + 20251952525805 \cos^{2}{\left (x \right )} - 2893136075115\right) \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2893136075115} \left(67282234305 \cos^{42}{\left (x \right )} - 1481850184815 \cos^{40}{\left (x \right )} + 15578425019850 \cos^{38}{\left (x \right )} - 103996512970350 \cos^{36}{\left (x \right )} + 494726268844665 \cos^{34}{\left (x \right )} - 1784012908864095 \cos^{32}{\left (x \right )} + 5064294709033560 \cos^{30}{\left (x \right )} - 11600478028081800 \cos^{28}{\left (x \right )} + 21804602219450050 \cos^{26}{\left (x \right )} - 34015179462342078 \cos^{24}{\left (x \right )} + 44367625385663580 \cos^{22}{\left (x \right )} - 48593113517631540 \cos^{20}{\left (x \right )} + 44756815082029050 \cos^{18}{\left (x \right )} - 34630838819126550 \cos^{16}{\left (x \right )} + 22427590854291480 \cos^{14}{\left (x \right )} - 12076395075387720 \cos^{12}{\left (x \right )} + 5352038726592285 \cos^{10}{\left (x \right )} - 1923935489951475 \cos^{8}{\left (x \right )} + 549695854271850 \cos^{6}{\left (x \right )} - 121511715154830 \cos^{4}{\left (x \right )} + 20251952525805 \cos^{2}{\left (x \right )} - 2893136075115\right) \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
  /                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
 |                                                                                                                                                                                          29               25               13              33              37            41         43            39               11               27               31                23   
 |     43          549755813888                     21               17             9            5           3             35             7              15               19      116280*cos  (1)   58786*cos  (1)   54264*cos  (1)   6783*cos  (1)   1330*cos  (1)   21*cos  (1)   cos  (1)   70*cos  (1)   20349*cos  (1)   22610*cos  (1)   54264*cos  (1)   352716*cos  (1)
 |  sin  (x) dx = ------------- - cos(1) - 16796*cos  (1) - 11970*cos  (1) - 665*cos (1) - 42*cos (1) + 7*cos (1) + 171*cos  (1) + 190*cos (1) + 7752*cos  (1) + 15470*cos  (1) - --------------- - -------------- - -------------- - ------------- - ------------- - ----------- + -------- + ----------- + -------------- + -------------- + -------------- + ---------------
 |                2893136075115                                                                                                                                                          29               5                13               11              37             41          43           13             11               3                31                23      
/                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
0                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

$${{67282234305\,\cos ^{43}1-1481850184815\,\cos ^{41}1+ 15578425019850\,\cos ^{39}1-103996512970350\,\cos ^{37}1+ 494726268844665\,\cos ^{35}1-1784012908864095\,\cos ^{33}1+ 5064294709033560\,\cos ^{31}1-11600478028081800\,\cos ^{29}1+ 21804602219450050\,\cos ^{27}1-34015179462342078\,\cos ^{25}1+ 44367625385663580\,\cos ^{23}1-48593113517631540\,\cos ^{21}1+ 44756815082029050\,\cos ^{19}1-34630838819126550\,\cos ^{17}1+ 22427590854291480\,\cos ^{15}1-12076395075387720\,\cos ^{13}1+ 5352038726592285\,\cos ^{11}1-1923935489951475\,\cos ^91+ 549695854271850\,\cos ^71-121511715154830\,\cos ^51+20251952525805\, \cos ^31-2893136075115\,\cos 1}\over{2893136075115}}+{{549755813888 }\over{2893136075115}}$$

Численный ответ

2.01875003396163e-5

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
 |                                                                                                                                                                             29               25               13              33              37            41         43            39               11               27               31                23   
 |    43                               21               17             9            5           3             35             7              15               19      116280*cos  (x)   58786*cos  (x)   54264*cos  (x)   6783*cos  (x)   1330*cos  (x)   21*cos  (x)   cos  (x)   70*cos  (x)   20349*cos  (x)   22610*cos  (x)   54264*cos  (x)   352716*cos  (x)
 | sin  (x) dx = C - cos(x) - 16796*cos  (x) - 11970*cos  (x) - 665*cos (x) - 42*cos (x) + 7*cos (x) + 171*cos  (x) + 190*cos (x) + 7752*cos  (x) + 15470*cos  (x) - --------------- - -------------- - -------------- - ------------- - ------------- - ----------- + -------- + ----------- + -------------- + -------------- + -------------- + ---------------
 |                                                                                                                                                                          29               5                13               11              37             41          43           13             11               3                31                23      
/                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

$${{67282234305\,\cos ^{43}x-1481850184815\,\cos ^{41}x+ 15578425019850\,\cos ^{39}x-103996512970350\,\cos ^{37}x+ 494726268844665\,\cos ^{35}x-1784012908864095\,\cos ^{33}x+ 5064294709033560\,\cos ^{31}x-11600478028081800\,\cos ^{29}x+ 21804602219450050\,\cos ^{27}x-34015179462342078\,\cos ^{25}x+ 44367625385663580\,\cos ^{23}x-48593113517631540\,\cos ^{21}x+ 44756815082029050\,\cos ^{19}x-34630838819126550\,\cos ^{17}x+ 22427590854291480\,\cos ^{15}x-12076395075387720\,\cos ^{13}x+ 5352038726592285\,\cos ^{11}x-1923935489951475\,\cos ^9x+ 549695854271850\,\cos ^7x-121511715154830\,\cos ^5x+20251952525805\, \cos ^3x-2893136075115\,\cos x}\over{2893136075115}}$$