Интеграл sin(x)^3 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  sin (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \sin^{3}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{3}{\left (x \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

      $\int u^{2} - 1\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int -1\, du = - u$

         Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} - u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = - \int \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

      Результат есть: $\frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                  
  /                                  
 |                               3   
 |     3         2            cos (1)
 |  sin (x) dx = - - cos(1) + -------
 |               3               3   
/                                    
0                                    

$${{\cos ^31-3\,\cos 1}\over{3}}+{{2}\over{3}}$$

Численный ответ

0.178940562548858

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                              3   
 |    3                      cos (x)
 | sin (x) dx = C - cos(x) + -------
 |                              3   
/                                   

$${{\cos ^3x}\over{3}}-\cos x$$