Интеграл sin(x)^(32) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     32      
 |  sin  (x) dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \sin^{32}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{32}{\left (x \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{16}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{16} = \frac{1}{65536} \cos^{16}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{4096} \cos^{15}{\left (2 x \right )} + \frac{15}{8192} \cos^{14}{\left (2 x \right )} - \frac{35}{4096} \cos^{13}{\left (2 x \right )} + \frac{455}{16384} \cos^{12}{\left (2 x \right )} - \frac{273}{4096} \cos^{11}{\left (2 x \right )} + \frac{1001}{8192} \cos^{10}{\left (2 x \right )} - \frac{715}{4096} \cos^{9}{\left (2 x \right )} + \frac{6435}{32768} \cos^{8}{\left (2 x \right )} - \frac{715}{4096} \cos^{7}{\left (2 x \right )} + \frac{1001}{8192} \cos^{6}{\left (2 x \right )} - \frac{273}{4096} \cos^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{455}{16384} \cos^{4}{\left (2 x \right )} - \frac{35}{4096} \cos^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{15}{8192} \cos^{2}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{4096} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{65536}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{65536} \cos^{16}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{65536} \int \cos^{16}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{16}{\left (2 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{8}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{8} = \frac{1}{256} \cos^{8}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{32} \cos^{7}{\left (4 x \right )} + \frac{7}{64} \cos^{6}{\left (4 x \right )} + \frac{7}{32} \cos^{5}{\left (4 x \right )} + \frac{35}{128} \cos^{4}{\left (4 x \right )} + \frac{7}{32} \cos^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{7}{64} \cos^{2}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{32} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{256}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{256} \cos^{8}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{256} \int \cos^{8}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{8}{\left (4 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{4}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16} \cos^{4}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{4} \cos^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{16}$

            3. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{16} \cos^{4}{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{16} \int \cos^{4}{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{4}{\left (8 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

                  2. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (16 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )} + \frac{1}{4}$

                  3. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (16 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (16 x \right )}\, dx$

                        1. Перепишите подынтегральное выражение:

                           $\cos^{2}{\left (16 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (32 x \right )} + \frac{1}{2}$

                        2. Интегрируем почленно:

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \frac{1}{2} \cos{\left (32 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (32 x \right )}\, dx$

                              1. пусть $u = 32 x$.

                                 Тогда пусть $du = 32 dx$ и подставим $\frac{du}{32}$:

                                 $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                                 1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                                    $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{32} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                                    1. Интеграл от косинуса есть синус:

                                       $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                                    Таким образом, результат будет: $\frac{1}{32} \sin{\left (u \right )}$

                                 Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                                 $\frac{1}{32} \sin{\left (32 x \right )}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{1}{64} \sin{\left (32 x \right )}$

                           1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                              $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                           Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{64} \sin{\left (32 x \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{256} \sin{\left (32 x \right )}$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (16 x \right )}\, dx$

                        1. пусть $u = 16 x$.

                           Тогда пусть $du = 16 dx$ и подставим $\frac{du}{16}$:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{16} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                                 $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (u \right )}$

                           Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                           $\frac{1}{16} \sin{\left (16 x \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

                     Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )} + \frac{1}{256} \sin{\left (32 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{128} + \frac{1}{512} \sin{\left (16 x \right )} + \frac{1}{4096} \sin{\left (32 x \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{4} \cos^{3}{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{3}{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{3}{\left (8 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (8 x \right )} + 1\right) \cos{\left (8 x \right )}$

                  2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

                     Метод #1

                     1. пусть $u = \sin{\left (8 x \right )}$.

                        Тогда пусть $du = 8 \cos{\left (8 x \right )} dx$ и подставим $du$:

                        $\int - \frac{u^{2}}{8} + \frac{1}{8}\, du$

                        1. Интегрируем почленно:

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int - \frac{u^{2}}{8}\, du = - \frac{1}{8} \int u^{2}\, du$

                              1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                                 $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                              Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{24}$

                           1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                              $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

                           Результат есть: $- \frac{u^{3}}{24} + \frac{u}{8}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $- \frac{1}{24} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                     Метод #2

                     1. Перепишите подынтегральное выражение:

                        $\left(- \sin^{2}{\left (8 x \right )} + 1\right) \cos{\left (8 x \right )} = - \sin^{2}{\left (8 x \right )} \cos{\left (8 x \right )} + \cos{\left (8 x \right )}$

                     2. Интегрируем почленно:

                        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                           $\int - \sin^{2}{\left (8 x \right )} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = - \int \sin^{2}{\left (8 x \right )} \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                           1. пусть $u = \sin{\left (8 x \right )}$.

                              Тогда пусть $du = 8 \cos{\left (8 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                              $\int u^{2}\, du$

                              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                                 $\int u^{2}\, du = \frac{1}{8} \int u^{2}\, du$

                                 1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                                    $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                                 Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{24}$

                              Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                              $\frac{1}{24} \sin^{3}{\left (8 x \right )}$

                           Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{24} \sin^{3}{\left (8 x \right )}$

                        1. пусть $u = 8 x$.

                           Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                                 $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                           Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                           $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                        Результат есть: $- \frac{1}{24} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{96} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{32} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{3}{8} \int \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{2}{\left (8 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )} + \frac{1}{2}$

                  2. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (16 x \right )}\, dx$

                        1. пусть $u = 16 x$.

                           Тогда пусть $du = 16 dx$ и подставим $\frac{du}{16}$:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{16} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                                 $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (u \right )}$

                           Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                           $\frac{1}{16} \sin{\left (16 x \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3}{256} \sin{\left (16 x \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{4} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{32} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$

               Результат есть: $\frac{35 x}{128} - \frac{1}{96} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{7}{512} \sin{\left (16 x \right )} + \frac{1}{4096} \sin{\left (32 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{35 x}{32768} - \frac{1}{24576} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{4096} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{7}{131072} \sin{\left (16 x \right )} + \frac{1}{1048576} \sin{\left (32 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{32} \cos^{7}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{32} \int \cos^{7}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{7}{\left (4 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right)^{3} \cos{\left (4 x \right )}$

            2. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $du$:

               $\int - \frac{1}{4} \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{3}{4} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - \frac{3}{4} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{1}{4} \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{4} \int \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                        Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                        $\int u^{6}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                           $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{7} \sin^{7}{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{28} \sin^{7}{\left (u \right )}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{3}{4} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{3}{4} \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                        Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                        $\int u^{4}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{3}{20} \sin^{5}{\left (u \right )}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{3}{4} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{3}{4} \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                        Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                        $\int u^{2}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin^{3}{\left (u \right )}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

                  Результат есть: $- \frac{1}{28} \sin^{7}{\left (u \right )} + \frac{3}{20} \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{1}{4} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{28} \sin^{7}{\left (4 x \right )} + \frac{3}{20} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{4} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{896} \sin^{7}{\left (4 x \right )} + \frac{3}{640} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{128} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{128} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{7}{64} \cos^{6}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{7}{64} \int \cos^{6}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{6}{\left (4 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{3}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8} \cos^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (8 x \right )} + \frac{3}{8} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{8}$

            3. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{8} \cos^{3}{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{8} \int \cos^{3}{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{3}{\left (8 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (8 x \right )} + 1\right) \cos{\left (8 x \right )}$

                  2. пусть $u = \sin{\left (8 x \right )}$.

                     Тогда пусть $du = 8 \cos{\left (8 x \right )} dx$ и подставим $du$:

                     $\int - \frac{u^{2}}{8} + \frac{1}{8}\, du$

                     1. Интегрируем почленно:

                        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                           $\int - \frac{u^{2}}{8}\, du = - \frac{1}{8} \int u^{2}\, du$

                           1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                              $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                           Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{24}$

                        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                           $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

                        Результат есть: $- \frac{u^{3}}{24} + \frac{u}{8}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $- \frac{1}{24} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{192} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{64} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{3}{8} \int \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{2}{\left (8 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )} + \frac{1}{2}$

                  2. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (16 x \right )}\, dx$

                        1. пусть $u = 16 x$.

                           Тогда пусть $du = 16 dx$ и подставим $\frac{du}{16}$:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{16} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                                 $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (u \right )}$

                           Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                           $\frac{1}{16} \sin{\left (16 x \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3}{256} \sin{\left (16 x \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{3}{8} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{3}{8} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{3}{64} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

               Результат есть: $\frac{5 x}{16} - \frac{1}{192} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{3}{256} \sin{\left (16 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{35 x}{1024} - \frac{7}{12288} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{7}{1024} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{21}{16384} \sin{\left (16 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{7}{32} \cos^{5}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{7}{32} \int \cos^{5}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{5}{\left (4 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (4 x \right )}$

            2. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{4} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - \frac{1}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{4} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                        Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                        $\int u^{4}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{20} \sin^{5}{\left (u \right )}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{1}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{2} \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                        Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                        $\int u^{2}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (u \right )}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

                  Результат есть: $\frac{1}{20} \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{20} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{7}{640} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{7}{192} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{7}{128} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{35}{128} \cos^{4}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{35}{128} \int \cos^{4}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{4}{\left (4 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{4}$

            3. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{2}{\left (8 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )} + \frac{1}{2}$

                  2. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (16 x \right )}\, dx$

                        1. пусть $u = 16 x$.

                           Тогда пусть $du = 16 dx$ и подставим $\frac{du}{16}$:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{16} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                                 $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (u \right )}$

                           Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                           $\frac{1}{16} \sin{\left (16 x \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{128} \sin{\left (16 x \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

               Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{1}{128} \sin{\left (16 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{105 x}{1024} + \frac{35}{2048} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{35}{16384} \sin{\left (16 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{7}{32} \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{7}{32} \int \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{3}{\left (4 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \cos{\left (4 x \right )}$

            2. пусть $u = \sin{\left (4 x \right )}$.

               Тогда пусть $du = 4 \cos{\left (4 x \right )} dx$ и подставим $du$:

               $\int - \frac{u^{2}}{4} + \frac{1}{4}\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{u^{2}}{4}\, du = - \frac{1}{4} \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{12}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

                  Результат есть: $- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{12} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{7}{384} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{7}{128} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{7}{64} \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{7}{64} \int \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left (4 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{7 x}{128} + \frac{7}{1024} \sin{\left (8 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{32} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{32} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{128} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{256}\, dx = \frac{x}{256}$

         Результат есть: $\frac{6435 x}{32768} - \frac{1}{896} \sin^{7}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{64} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{16} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} - \frac{5}{8192} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{127}{4096} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{455}{131072} \sin{\left (16 x \right )} + \frac{1}{1048576} \sin{\left (32 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{6435 x}{2147483648} - \frac{1}{58720256} \sin^{7}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4194304} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{1048576} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{524288} \sin{\left (4 x \right )} - \frac{5}{536870912} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{127}{268435456} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{455}{8589934592} \sin{\left (16 x \right )} + \frac{1}{68719476736} \sin{\left (32 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{4096} \cos^{15}{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{4096} \int \cos^{15}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{15}{\left (2 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{7} \cos{\left (2 x \right )}$

      2. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

         $\int - \frac{1}{2} \sin^{14}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{7}{2} \sin^{12}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - \frac{21}{2} \sin^{10}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{35}{2} \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - \frac{35}{2} \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{21}{2} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - \frac{7}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{2} \sin^{14}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{2} \int \sin^{14}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{14}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{15} \sin^{15}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{30} \sin^{15}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{7}{2} \sin^{12}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{7}{2} \int \sin^{12}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{12}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{13} \sin^{13}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{7}{26} \sin^{13}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{21}{2} \sin^{10}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{21}{2} \int \sin^{10}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{10}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{11} \sin^{11}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{21}{22} \sin^{11}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{35}{2} \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{35}{2} \int \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{8}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{9} \sin^{9}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{35}{18} \sin^{9}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{35}{2} \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{35}{2} \int \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{6}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{7} \sin^{7}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{5}{2} \sin^{7}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{21}{2} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{21}{2} \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{21}{10} \sin^{5}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{7}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{7}{2} \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{7}{6} \sin^{3}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Результат есть: $- \frac{1}{30} \sin^{15}{\left (u \right )} + \frac{7}{26} \sin^{13}{\left (u \right )} - \frac{21}{22} \sin^{11}{\left (u \right )} + \frac{35}{18} \sin^{9}{\left (u \right )} - \frac{5}{2} \sin^{7}{\left (u \right )} + \frac{21}{10} \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{7}{6} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{30} \sin^{15}{\left (2 x \right )} + \frac{7}{26} \sin^{13}{\left (2 x \right )} - \frac{21}{22} \sin^{11}{\left (2 x \right )} + \frac{35}{18} \sin^{9}{\left (2 x \right )} - \frac{5}{2} \sin^{7}{\left (2 x \right )} + \frac{21}{10} \sin^{5}{\left (2 x \right )} - \frac{7}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{122880} \sin^{15}{\left (2 x \right )} - \frac{7}{106496} \sin^{13}{\left (2 x \right )} + \frac{21}{90112} \sin^{11}{\left (2 x \right )} - \frac{35}{73728} \sin^{9}{\left (2 x \right )} + \frac{5}{8192} \sin^{7}{\left (2 x \right )} - \frac{21}{40960} \sin^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{7}{24576} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{8192} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{15}{8192} \cos^{14}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{15}{8192} \int \cos^{14}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{14}{\left (2 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{7}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{7} = \frac{1}{128} \cos^{7}{\left (4 x \right )} + \frac{7}{128} \cos^{6}{\left (4 x \right )} + \frac{21}{128} \cos^{5}{\left (4 x \right )} + \frac{35}{128} \cos^{4}{\left (4 x \right )} + \frac{35}{128} \cos^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{21}{128} \cos^{2}{\left (4 x \right )} + \frac{7}{128} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{128}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{128} \cos^{7}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{128} \int \cos^{7}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{7}{\left (4 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right)^{3} \cos{\left (4 x \right )}$

            2. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $du$:

               $\int - \frac{1}{4} \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{3}{4} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - \frac{3}{4} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{1}{4} \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{4} \int \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                        Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                        $\int u^{6}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                           $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{7} \sin^{7}{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{28} \sin^{7}{\left (u \right )}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{3}{4} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{3}{4} \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                        Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                        $\int u^{4}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{3}{20} \sin^{5}{\left (u \right )}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{3}{4} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{3}{4} \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                        Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                        $\int u^{2}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin^{3}{\left (u \right )}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

                  Результат есть: $- \frac{1}{28} \sin^{7}{\left (u \right )} + \frac{3}{20} \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{1}{4} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{28} \sin^{7}{\left (4 x \right )} + \frac{3}{20} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{4} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3584} \sin^{7}{\left (4 x \right )} + \frac{3}{2560} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{512} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{512} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{7}{128} \cos^{6}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{7}{128} \int \cos^{6}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{6}{\left (4 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{3}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8} \cos^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (8 x \right )} + \frac{3}{8} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{8}$

            3. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{8} \cos^{3}{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{8} \int \cos^{3}{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{3}{\left (8 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (8 x \right )} + 1\right) \cos{\left (8 x \right )}$

                  2. пусть $u = \sin{\left (8 x \right )}$.

                     Тогда пусть $du = 8 \cos{\left (8 x \right )} dx$ и подставим $du$:

                     $\int - \frac{u^{2}}{8} + \frac{1}{8}\, du$

                     1. Интегрируем почленно:

                        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                           $\int - \frac{u^{2}}{8}\, du = - \frac{1}{8} \int u^{2}\, du$

                           1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                              $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                           Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{24}$

                        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                           $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

                        Результат есть: $- \frac{u^{3}}{24} + \frac{u}{8}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $- \frac{1}{24} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{192} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{64} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{3}{8} \int \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{2}{\left (8 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )} + \frac{1}{2}$

                  2. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (16 x \right )}\, dx$

                        1. пусть $u = 16 x$.

                           Тогда пусть $du = 16 dx$ и подставим $\frac{du}{16}$:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{16} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                                 $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (u \right )}$

                           Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                           $\frac{1}{16} \sin{\left (16 x \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3}{256} \sin{\left (16 x \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{3}{8} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{3}{8} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{3}{64} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

               Результат есть: $\frac{5 x}{16} - \frac{1}{192} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{3}{256} \sin{\left (16 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{35 x}{2048} - \frac{7}{24576} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{7}{2048} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{21}{32768} \sin{\left (16 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{21}{128} \cos^{5}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{21}{128} \int \cos^{5}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{5}{\left (4 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (4 x \right )}$

            2. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{4} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - \frac{1}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{4} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                        Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                        $\int u^{4}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{20} \sin^{5}{\left (u \right )}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{1}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{2} \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                        Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                        $\int u^{2}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (u \right )}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

                  Результат есть: $\frac{1}{20} \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{20} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{21}{2560} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{7}{256} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{21}{512} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{35}{128} \cos^{4}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{35}{128} \int \cos^{4}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{4}{\left (4 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{4}$

            3. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{2}{\left (8 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )} + \frac{1}{2}$

                  2. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (16 x \right )}\, dx$

                        1. пусть $u = 16 x$.

                           Тогда пусть $du = 16 dx$ и подставим $\frac{du}{16}$:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{16} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                                 $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (u \right )}$

                           Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                           $\frac{1}{16} \sin{\left (16 x \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{128} \sin{\left (16 x \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

               Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{1}{128} \sin{\left (16 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{105 x}{1024} + \frac{35}{2048} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{35}{16384} \sin{\left (16 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{35}{128} \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{35}{128} \int \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{3}{\left (4 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \cos{\left (4 x \right )}$

            2. пусть $u = \sin{\left (4 x \right )}$.

               Тогда пусть $du = 4 \cos{\left (4 x \right )} dx$ и подставим $du$:

               $\int - \frac{u^{2}}{4} + \frac{1}{4}\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{u^{2}}{4}\, du = - \frac{1}{4} \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{12}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

                  Результат есть: $- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{12} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{35}{1536} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{35}{512} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{21}{128} \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{21}{128} \int \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left (4 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{21 x}{256} + \frac{21}{2048} \sin{\left (8 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{7}{128} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{7}{128} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{7}{512} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{128}\, dx = \frac{x}{128}$

         Результат есть: $\frac{429 x}{2048} - \frac{1}{3584} \sin^{7}{\left (4 x \right )} + \frac{3}{320} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{5}{96} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} - \frac{7}{24576} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{63}{2048} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{91}{32768} \sin{\left (16 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{6435 x}{16777216} - \frac{15}{29360128} \sin^{7}{\left (4 x \right )} + \frac{9}{524288} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{25}{262144} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{15}{65536} \sin{\left (4 x \right )} - \frac{35}{67108864} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{945}{16777216} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{1365}{268435456} \sin{\left (16 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{35}{4096} \cos^{13}{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{35}{4096} \int \cos^{13}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{13}{\left (2 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{6} \cos{\left (2 x \right )}$

      2. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{2} \sin^{12}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - 3 \sin^{10}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{15}{2} \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - 10 \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{15}{2} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - 3 \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \sin^{12}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \sin^{12}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{12}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{13} \sin^{13}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{26} \sin^{13}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - 3 \sin^{10}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - 3 \int \sin^{10}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{10}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{11} \sin^{11}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{3}{11} \sin^{11}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{15}{2} \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{15}{2} \int \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{8}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{9} \sin^{9}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{5}{6} \sin^{9}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - 10 \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - 10 \int \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{6}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{7} \sin^{7}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{10}{7} \sin^{7}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{15}{2} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{15}{2} \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{3}{2} \sin^{5}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - 3 \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - 3 \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \sin^{3}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Результат есть: $\frac{1}{26} \sin^{13}{\left (u \right )} - \frac{3}{11} \sin^{11}{\left (u \right )} + \frac{5}{6} \sin^{9}{\left (u \right )} - \frac{10}{7} \sin^{7}{\left (u \right )} + \frac{3}{2} \sin^{5}{\left (u \right )} - \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{26} \sin^{13}{\left (2 x \right )} - \frac{3}{11} \sin^{11}{\left (2 x \right )} + \frac{5}{6} \sin^{9}{\left (2 x \right )} - \frac{10}{7} \sin^{7}{\left (2 x \right )} + \frac{3}{2} \sin^{5}{\left (2 x \right )} - \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{35}{106496} \sin^{13}{\left (2 x \right )} + \frac{105}{45056} \sin^{11}{\left (2 x \right )} - \frac{175}{24576} \sin^{9}{\left (2 x \right )} + \frac{25}{2048} \sin^{7}{\left (2 x \right )} - \frac{105}{8192} \sin^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{35}{4096} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{35}{8192} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{455}{16384} \cos^{12}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{455}{16384} \int \cos^{12}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{12}{\left (2 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{6}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{6} = \frac{1}{64} \cos^{6}{\left (4 x \right )} + \frac{3}{32} \cos^{5}{\left (4 x \right )} + \frac{15}{64} \cos^{4}{\left (4 x \right )} + \frac{5}{16} \cos^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{15}{64} \cos^{2}{\left (4 x \right )} + \frac{3}{32} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{64}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{64} \cos^{6}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{64} \int \cos^{6}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{6}{\left (4 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{3}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8} \cos^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (8 x \right )} + \frac{3}{8} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{8}$

            3. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{8} \cos^{3}{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{8} \int \cos^{3}{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{3}{\left (8 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (8 x \right )} + 1\right) \cos{\left (8 x \right )}$

                  2. пусть $u = \sin{\left (8 x \right )}$.

                     Тогда пусть $du = 8 \cos{\left (8 x \right )} dx$ и подставим $du$:

                     $\int - \frac{u^{2}}{8} + \frac{1}{8}\, du$

                     1. Интегрируем почленно:

                        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                           $\int - \frac{u^{2}}{8}\, du = - \frac{1}{8} \int u^{2}\, du$

                           1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                              $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                           Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{24}$

                        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                           $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

                        Результат есть: $- \frac{u^{3}}{24} + \frac{u}{8}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $- \frac{1}{24} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{192} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{64} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{3}{8} \int \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{2}{\left (8 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )} + \frac{1}{2}$

                  2. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (16 x \right )}\, dx$

                        1. пусть $u = 16 x$.

                           Тогда пусть $du = 16 dx$ и подставим $\frac{du}{16}$:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{16} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                                 $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (u \right )}$

                           Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                           $\frac{1}{16} \sin{\left (16 x \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3}{256} \sin{\left (16 x \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{3}{8} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{3}{8} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{3}{64} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

               Результат есть: $\frac{5 x}{16} - \frac{1}{192} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{3}{256} \sin{\left (16 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{5 x}{1024} - \frac{1}{12288} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{1024} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{3}{16384} \sin{\left (16 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3}{32} \cos^{5}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{3}{32} \int \cos^{5}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{5}{\left (4 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (4 x \right )}$

            2. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{4} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - \frac{1}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{4} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                        Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                        $\int u^{4}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{20} \sin^{5}{\left (u \right )}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{1}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{2} \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                        Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                        $\int u^{2}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (u \right )}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

                  Результат есть: $\frac{1}{20} \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{20} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3}{640} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{64} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{3}{128} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{15}{64} \cos^{4}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{15}{64} \int \cos^{4}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{4}{\left (4 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{4}$

            3. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{2}{\left (8 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )} + \frac{1}{2}$

                  2. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (16 x \right )}\, dx$

                        1. пусть $u = 16 x$.

                           Тогда пусть $du = 16 dx$ и подставим $\frac{du}{16}$:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{16} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                                 $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (u \right )}$

                           Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                           $\frac{1}{16} \sin{\left (16 x \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{128} \sin{\left (16 x \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

               Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{1}{128} \sin{\left (16 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{45 x}{512} + \frac{15}{1024} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{15}{8192} \sin{\left (16 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{5}{16} \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{5}{16} \int \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{3}{\left (4 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \cos{\left (4 x \right )}$

            2. пусть $u = \sin{\left (4 x \right )}$.

               Тогда пусть $du = 4 \cos{\left (4 x \right )} dx$ и подставим $du$:

               $\int - \frac{u^{2}}{4} + \frac{1}{4}\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{u^{2}}{4}\, du = - \frac{1}{4} \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{12}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

                  Результат есть: $- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{12} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{5}{192} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{5}{64} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{15}{64} \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{15}{64} \int \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left (4 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{15 x}{128} + \frac{15}{1024} \sin{\left (8 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3}{32} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{3}{32} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3}{128} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{64}\, dx = \frac{x}{64}$

         Результат есть: $\frac{231 x}{1024} + \frac{3}{640} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{24} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} - \frac{1}{12288} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{31}{1024} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{33}{16384} \sin{\left (16 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{105105 x}{16777216} + \frac{273}{2097152} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{455}{393216} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{455}{131072} \sin{\left (4 x \right )} - \frac{455}{201326592} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{14105}{16777216} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{15015}{268435456} \sin{\left (16 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{273}{4096} \cos^{11}{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{273}{4096} \int \cos^{11}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{11}{\left (2 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{5} \cos{\left (2 x \right )}$

      2. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

         $\int - \frac{1}{2} \sin^{10}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{5}{2} \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - 5 \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + 5 \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - \frac{5}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{2} \sin^{10}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{2} \int \sin^{10}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{10}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{11} \sin^{11}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{22} \sin^{11}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{5}{2} \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{5}{2} \int \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{8}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{9} \sin^{9}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{5}{18} \sin^{9}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - 5 \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - 5 \int \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{6}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{7} \sin^{7}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{5}{7} \sin^{7}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 5 \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = 5 \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\sin^{5}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{5}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{5}{2} \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{5}{6} \sin^{3}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Результат есть: $- \frac{1}{22} \sin^{11}{\left (u \right )} + \frac{5}{18} \sin^{9}{\left (u \right )} - \frac{5}{7} \sin^{7}{\left (u \right )} + \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{5}{6} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{22} \sin^{11}{\left (2 x \right )} + \frac{5}{18} \sin^{9}{\left (2 x \right )} - \frac{5}{7} \sin^{7}{\left (2 x \right )} + \sin^{5}{\left (2 x \right )} - \frac{5}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{273}{90112} \sin^{11}{\left (2 x \right )} - \frac{455}{24576} \sin^{9}{\left (2 x \right )} + \frac{195}{4096} \sin^{7}{\left (2 x \right )} - \frac{273}{4096} \sin^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{455}{8192} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{273}{8192} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1001}{8192} \cos^{10}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1001}{8192} \int \cos^{10}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{10}{\left (2 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{5}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{1}{32} \cos^{5}{\left (4 x \right )} + \frac{5}{32} \cos^{4}{\left (4 x \right )} + \frac{5}{16} \cos^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{5}{16} \cos^{2}{\left (4 x \right )} + \frac{5}{32} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{32}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{32} \cos^{5}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{32} \int \cos^{5}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{5}{\left (4 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (4 x \right )}$

            2. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{4} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - \frac{1}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{4} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                        Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                        $\int u^{4}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{20} \sin^{5}{\left (u \right )}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{1}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{2} \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                        Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                        $\int u^{2}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (u \right )}$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

                  Результат есть: $\frac{1}{20} \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{20} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{640} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{192} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{128} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{5}{32} \cos^{4}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{5}{32} \int \cos^{4}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{4}{\left (4 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{4}$

            3. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{2}{\left (8 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )} + \frac{1}{2}$

                  2. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (16 x \right )}\, dx$

                        1. пусть $u = 16 x$.

                           Тогда пусть $du = 16 dx$ и подставим $\frac{du}{16}$:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{16} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                                 $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (u \right )}$

                           Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                           $\frac{1}{16} \sin{\left (16 x \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{128} \sin{\left (16 x \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

               Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{1}{128} \sin{\left (16 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{15 x}{256} + \frac{5}{512} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{5}{4096} \sin{\left (16 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{5}{16} \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{5}{16} \int \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{3}{\left (4 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \cos{\left (4 x \right )}$

            2. пусть $u = \sin{\left (4 x \right )}$.

               Тогда пусть $du = 4 \cos{\left (4 x \right )} dx$ и подставим $du$:

               $\int - \frac{u^{2}}{4} + \frac{1}{4}\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{u^{2}}{4}\, du = - \frac{1}{4} \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{12}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

                  Результат есть: $- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{12} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{5}{192} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{5}{64} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{5}{16} \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{5}{16} \int \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left (4 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{5 x}{32} + \frac{5}{256} \sin{\left (8 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{5}{32} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{5}{32} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{5}{128} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{32}\, dx = \frac{x}{32}$

         Результат есть: $\frac{63 x}{256} + \frac{1}{640} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{32} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{15}{512} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{5}{4096} \sin{\left (16 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{63063 x}{2097152} + \frac{1001}{5242880} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{1001}{262144} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1001}{65536} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{15015}{4194304} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{5005}{33554432} \sin{\left (16 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{715}{4096} \cos^{9}{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{715}{4096} \int \cos^{9}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{9}{\left (2 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{4} \cos{\left (2 x \right )}$

      2. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{2} \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - 2 \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + 3 \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - 2 \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \sin^{8}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{8}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{9} \sin^{9}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{18} \sin^{9}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - 2 \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - 2 \int \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{6}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{7} \sin^{7}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{2}{7} \sin^{7}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 3 \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = 3 \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{3}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - 2 \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - 2 \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Результат есть: $\frac{1}{18} \sin^{9}{\left (u \right )} - \frac{2}{7} \sin^{7}{\left (u \right )} + \frac{3}{5} \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{18} \sin^{9}{\left (2 x \right )} - \frac{2}{7} \sin^{7}{\left (2 x \right )} + \frac{3}{5} \sin^{5}{\left (2 x \right )} - \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{715}{73728} \sin^{9}{\left (2 x \right )} + \frac{715}{14336} \sin^{7}{\left (2 x \right )} - \frac{429}{4096} \sin^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{715}{6144} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{715}{8192} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{6435}{32768} \cos^{8}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{6435}{32768} \int \cos^{8}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{8}{\left (2 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{4}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16} \cos^{4}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \cos^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{16}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{16} \cos^{4}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{16} \int \cos^{4}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{4}{\left (4 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{4}$

            3. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. Перепишите подынтегральное выражение:

                     $\cos^{2}{\left (8 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )} + \frac{1}{2}$

                  2. Интегрируем почленно:

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{1}{2} \cos{\left (16 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (16 x \right )}\, dx$

                        1. пусть $u = 16 x$.

                           Тогда пусть $du = 16 dx$ и подставим $\frac{du}{16}$:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                           1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                              $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{16} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                                 $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                              Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (u \right )}$

                           Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                           $\frac{1}{16} \sin{\left (16 x \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                     1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{32} \sin{\left (16 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{128} \sin{\left (16 x \right )}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

               Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{1}{128} \sin{\left (16 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{128} + \frac{1}{256} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2048} \sin{\left (16 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{4} \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{3}{\left (4 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \cos{\left (4 x \right )}$

            2. пусть $u = \sin{\left (4 x \right )}$.

               Тогда пусть $du = 4 \cos{\left (4 x \right )} dx$ и подставим $du$:

               $\int - \frac{u^{2}}{4} + \frac{1}{4}\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{u^{2}}{4}\, du = - \frac{1}{4} \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{12}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

                  Результат есть: $- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{12} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{48} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{16} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{3}{8} \int \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left (4 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3}{128} \sin{\left (8 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{4} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$

         Результат есть: $\frac{35 x}{128} - \frac{1}{48} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{7}{256} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2048} \sin{\left (16 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{225225 x}{4194304} - \frac{2145}{524288} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{6435}{262144} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{45045}{8388608} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{6435}{67108864} \sin{\left (16 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{715}{4096} \cos^{7}{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{715}{4096} \int \cos^{7}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{7}{\left (2 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{3} \cos{\left (2 x \right )}$

      2. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

         $\int - \frac{1}{2} \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{3}{2} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - \frac{3}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{2} \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{2} \int \sin^{6}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{6}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{7} \sin^{7}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{14} \sin^{7}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{3}{2} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{3}{2} \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{3}{10} \sin^{5}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{3}{2} \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \frac{3}{2} \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \sin^{3}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Результат есть: $- \frac{1}{14} \sin^{7}{\left (u \right )} + \frac{3}{10} \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{1}{2} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{14} \sin^{7}{\left (2 x \right )} + \frac{3}{10} \sin^{5}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{715}{57344} \sin^{7}{\left (2 x \right )} - \frac{429}{8192} \sin^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{715}{8192} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{715}{8192} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1001}{8192} \cos^{6}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1001}{8192} \int \cos^{6}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{6}{\left (2 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{3}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8} \cos^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (4 x \right )} + \frac{3}{8} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{8}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{8} \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{8} \int \cos^{3}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{3}{\left (4 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \cos{\left (4 x \right )}$

            2. пусть $u = \sin{\left (4 x \right )}$.

               Тогда пусть $du = 4 \cos{\left (4 x \right )} dx$ и подставим $du$:

               $\int - \frac{u^{2}}{4} + \frac{1}{4}\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{u^{2}}{4}\, du = - \frac{1}{4} \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{12}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

                  Результат есть: $- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{12} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{96} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{32} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{3}{8} \int \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left (4 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3}{128} \sin{\left (8 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3}{8} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{3}{8} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3}{32} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

         Результат есть: $\frac{5 x}{16} - \frac{1}{96} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{3}{128} \sin{\left (8 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{5005 x}{131072} - \frac{1001}{786432} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{1001}{65536} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{3003}{1048576} \sin{\left (8 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{273}{4096} \cos^{5}{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{273}{4096} \int \cos^{5}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{5}{\left (2 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (2 x \right )}$

      2. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{2} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} - \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \sin^{4}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{4}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{10} \sin^{5}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du = - \int \sin^{2}{\left (u \right )} \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Результат есть: $\frac{1}{10} \sin^{5}{\left (u \right )} - \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{10} \sin^{5}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{3} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{273}{40960} \sin^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{91}{4096} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{273}{8192} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{455}{16384} \cos^{4}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{455}{16384} \int \cos^{4}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{4}{\left (2 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left (4 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{64} \sin{\left (8 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

         Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{64} \sin{\left (8 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1365 x}{131072} + \frac{455}{131072} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{455}{1048576} \sin{\left (8 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{35}{4096} \cos^{3}{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{35}{4096} \int \cos^{3}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{3}{\left (2 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \cos{\left (2 x \right )}$

      2. пусть $u = \sin{\left (2 x \right )}$.

         Тогда пусть $du = 2 \cos{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $du$:

         $\int - \frac{u^{2}}{2} + \frac{1}{2}\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{u^{2}}{2}\, du = - \frac{1}{2} \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

            Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{35}{24576} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{35}{8192} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{15}{8192} \cos^{2}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{15}{8192} \int \cos^{2}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{2}{\left (2 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{15 x}{16384} + \frac{15}{65536} \sin{\left (4 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{4096} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{4096} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{8192} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{65536}\, dx = \frac{x}{65536}$

   Результат есть: $\frac{300540195 x}{2147483648} + \frac{1}{122880} \sin^{15}{\left (2 x \right )} - \frac{21}{53248} \sin^{13}{\left (2 x \right )} + \frac{63}{11264} \sin^{11}{\left (2 x \right )} - \frac{55}{1536} \sin^{9}{\left (2 x \right )} + \frac{55}{448} \sin^{7}{\left (2 x \right )} - \frac{39}{160} \sin^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{7}{24} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )} - \frac{31}{58720256} \sin^{7}{\left (4 x \right )} + \frac{7099}{20971520} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{10943}{1048576} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{32767}{524288} \sin{\left (4 x \right )} - \frac{4495}{1610612736} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{3528575}{268435456} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{2629575}{8589934592} \sin{\left (16 x \right )} + \frac{1}{68719476736} \sin{\left (32 x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{300540195 x}{2147483648} + \frac{1}{122880} \sin^{15}{\left (2 x \right )} - \frac{21}{53248} \sin^{13}{\left (2 x \right )} + \frac{63}{11264} \sin^{11}{\left (2 x \right )} - \frac{55}{1536} \sin^{9}{\left (2 x \right )} + \frac{55}{448} \sin^{7}{\left (2 x \right )} - \frac{39}{160} \sin^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{7}{24} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )} - \frac{31}{58720256} \sin^{7}{\left (4 x \right )} + \frac{7099}{20971520} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{10943}{1048576} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{32767}{524288} \sin{\left (4 x \right )} - \frac{4495}{1610612736} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{3528575}{268435456} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{2629575}{8589934592} \sin{\left (16 x \right )} + \frac{1}{68719476736} \sin{\left (32 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{300540195 x}{2147483648} + \frac{1}{122880} \sin^{15}{\left (2 x \right )} - \frac{21}{53248} \sin^{13}{\left (2 x \right )} + \frac{63}{11264} \sin^{11}{\left (2 x \right )} - \frac{55}{1536} \sin^{9}{\left (2 x \right )} + \frac{55}{448} \sin^{7}{\left (2 x \right )} - \frac{39}{160} \sin^{5}{\left (2 x \right )} + \frac{7}{24} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )} - \frac{31}{58720256} \sin^{7}{\left (4 x \right )} + \frac{7099}{20971520} \sin^{5}{\left (4 x \right )} - \frac{10943}{1048576} \sin^{3}{\left (4 x \right )} + \frac{32767}{524288} \sin{\left (4 x \right )} - \frac{4495}{1610612736} \sin^{3}{\left (8 x \right )} + \frac{3528575}{268435456} \sin{\left (8 x \right )} + \frac{2629575}{8589934592} \sin{\left (16 x \right )} + \frac{1}{68719476736} \sin{\left (32 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
  /                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
 |                                                                    3                          13                         7                         11                         5                        9                        15                       17                       21                       19                      23                     25                    27                   29                31          
 |     32         300540195    300540195*cos(1)*sin(1)   100180065*sin (1)*cos(1)   100180065*sin  (1)*cos(1)   60108039*sin (1)*cos(1)   33393355*sin  (1)*cos(1)   20036013*sin (1)*cos(1)   6678671*sin (1)*cos(1)   6678671*sin  (1)*cos(1)   392863*sin  (1)*cos(1)   310155*sin  (1)*cos(1)   186093*sin  (1)*cos(1)   13485*sin  (1)*cos(1)   8091*sin  (1)*cos(1)   899*sin  (1)*cos(1)   31*sin  (1)*cos(1)   sin  (1)*cos(1)
 |  sin  (x) dx = ---------- - ----------------------- - ------------------------ - ------------------------- - ----------------------- - ------------------------ - ----------------------- - ---------------------- - ----------------------- - ---------------------- - ---------------------- - ---------------------- - --------------------- - -------------------- - ------------------- - ------------------ - ---------------
 |                2147483648          2147483648                1073741824                  2099249152                 939524096                 645922816                  268435456                117440512                 149946368                 9371648                  8200192                  4685824                   372736                 232960                 26880                 960                  32      
/                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
0                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

$${{15015\,\sin 32+315864549000\,\sin 16-2879676800\,\sin ^38+ 13563277728000\,\sin 8-544727040\,\sin ^74+349278978048\,\sin ^54- 10768164126720\,\sin ^34+64486965903360\,\sin 4+8396996608\,\sin ^{ 15}2-406931374080\,\sin ^{13}2+5771026759680\,\sin ^{11}2- 36946785075200\,\sin ^92+126674691686400\,\sin ^72-251506842402816\, \sin ^52+300948358430720\,\sin ^32-257955735797760\,\sin 2+ 144403552893600}\over{1031822943191040}}$$

Численный ответ

0.000177360941497845

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                                                                                                                                                                                                         
 |                            3                3              9              5              7              13                      15                           3              7              11                5                                                                           
 |    32             10943*sin (4*x)   4495*sin (8*x)   55*sin (2*x)   39*sin (2*x)   31*sin (4*x)   21*sin  (2*x)   sin(2*x)   sin  (2*x)    sin(32*x)    7*sin (2*x)   55*sin (2*x)   63*sin  (2*x)   7099*sin (4*x)   32767*sin(4*x)   2629575*sin(16*x)   3528575*sin(8*x)   300540195*x
 | sin  (x) dx = C - --------------- - -------------- - ------------ - ------------ - ------------ - ------------- - -------- + ---------- + ----------- + ----------- + ------------ + ------------- + -------------- + -------------- + ----------------- + ---------------- + -----------
 |                       1048576         1610612736         1536           160          58720256         53248          4         122880     68719476736        24           448            11264          20971520          524288           8589934592         268435456        2147483648
/                                                                                                                                                                                                                                                                                           

$${{{{{{{{{{{{\sin \left(32\,x\right)}\over{2}}+16\,x}\over{8}}+{{ \sin \left(16\,x\right)}\over{2}}+4\,x}\over{32}}+{{3\,\left({{\sin \left(16\,x\right)}\over{2}}+8\,x\right)}\over{16}}+{{\sin \left(8\, x\right)-{{\sin ^3\left(8\,x\right)}\over{3}}}\over{4}}+{{\sin \left(8\,x\right)}\over{4}}+{{x}\over{2}}}\over{512}}+{{7\,\left({{3 \,\left({{\sin \left(16\,x\right)}\over{2}}+8\,x\right)}\over{16}}+ {{\sin \left(8\,x\right)-{{\sin ^3\left(8\,x\right)}\over{3}}}\over{ 8}}+{{3\,\sin \left(8\,x\right)}\over{8}}+x\right)}\over{128}}+{{35 \,\left({{{{\sin \left(16\,x\right)}\over{2}}+8\,x}\over{8}}+{{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+2\,x\right)}\over{256}}+{{7\,\left({{ \sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+4\,x\right)}\over{128}}+{{-{{\sin ^ 7\left(4\,x\right)}\over{7}}+{{3\,\sin ^5\left(4\,x\right)}\over{5}} -\sin ^3\left(4\,x\right)+\sin \left(4\,x\right)}\over{32}}+{{7\, \left({{\sin ^5\left(4\,x\right)}\over{5}}-{{2\,\sin ^3\left(4\,x \right)}\over{3}}+\sin \left(4\,x\right)\right)}\over{32}}+{{7\, \left(\sin \left(4\,x\right)-{{\sin ^3\left(4\,x\right)}\over{3}} \right)}\over{32}}+{{\sin \left(4\,x\right)}\over{32}}+{{x}\over{64 }}}\over{131072}}+{{15\,\left({{7\,\left({{3\,\left({{\sin \left(16 \,x\right)}\over{2}}+8\,x\right)}\over{16}}+{{\sin \left(8\,x\right) -{{\sin ^3\left(8\,x\right)}\over{3}}}\over{8}}+{{3\,\sin \left(8\,x \right)}\over{8}}+x\right)}\over{256}}+{{35\,\left({{{{\sin \left(16 \,x\right)}\over{2}}+8\,x}\over{8}}+{{\sin \left(8\,x\right)}\over{2 }}+2\,x\right)}\over{256}}+{{21\,\left({{\sin \left(8\,x\right) }\over{2}}+4\,x\right)}\over{256}}+{{-{{\sin ^7\left(4\,x\right) }\over{7}}+{{3\,\sin ^5\left(4\,x\right)}\over{5}}-\sin ^3\left(4\,x \right)+\sin \left(4\,x\right)}\over{128}}+{{21\,\left({{\sin ^5 \left(4\,x\right)}\over{5}}-{{2\,\sin ^3\left(4\,x\right)}\over{3}}+ \sin \left(4\,x\right)\right)}\over{128}}+{{35\,\left(\sin \left(4\, x\right)-{{\sin ^3\left(4\,x\right)}\over{3}}\right)}\over{128}}+{{7 \,\sin \left(4\,x\right)}\over{128}}+{{x}\over{32}}\right)}\over{ 16384}}+{{455\,\left({{{{3\,\left({{\sin \left(16\,x\right)}\over{2 }}+8\,x\right)}\over{16}}+{{\sin \left(8\,x\right)-{{\sin ^3\left(8 \,x\right)}\over{3}}}\over{8}}+{{3\,\sin \left(8\,x\right)}\over{8}} +x}\over{128}}+{{15\,\left({{{{\sin \left(16\,x\right)}\over{2}}+8\, x}\over{8}}+{{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+2\,x\right)}\over{128 }}+{{15\,\left({{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+4\,x\right)}\over{ 128}}+{{3\,\left({{\sin ^5\left(4\,x\right)}\over{5}}-{{2\,\sin ^3 \left(4\,x\right)}\over{3}}+\sin \left(4\,x\right)\right)}\over{32}} +{{5\,\left(\sin \left(4\,x\right)-{{\sin ^3\left(4\,x\right)}\over{ 3}}\right)}\over{16}}+{{3\,\sin \left(4\,x\right)}\over{32}}+{{x }\over{16}}\right)}\over{32768}}+{{1001\,\left({{5\,\left({{{{\sin \left(16\,x\right)}\over{2}}+8\,x}\over{8}}+{{\sin \left(8\,x\right) }\over{2}}+2\,x\right)}\over{64}}+{{5\,\left({{\sin \left(8\,x \right)}\over{2}}+4\,x\right)}\over{32}}+{{{{\sin ^5\left(4\,x \right)}\over{5}}-{{2\,\sin ^3\left(4\,x\right)}\over{3}}+\sin \left(4\,x\right)}\over{32}}+{{5\,\left(\sin \left(4\,x\right)-{{ \sin ^3\left(4\,x\right)}\over{3}}\right)}\over{16}}+{{5\,\sin \left(4\,x\right)}\over{32}}+{{x}\over{8}}\right)}\over{16384}}+{{ 6435\,\left({{{{{{\sin \left(16\,x\right)}\over{2}}+8\,x}\over{8}}+ {{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+2\,x}\over{32}}+{{3\,\left({{ \sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+4\,x\right)}\over{16}}+{{\sin \left(4\,x\right)-{{\sin ^3\left(4\,x\right)}\over{3}}}\over{4}}+{{ \sin \left(4\,x\right)}\over{4}}+{{x}\over{4}}\right)}\over{65536}}+ {{1001\,\left({{3\,\left({{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+4\,x \right)}\over{16}}+{{\sin \left(4\,x\right)-{{\sin ^3\left(4\,x \right)}\over{3}}}\over{8}}+{{3\,\sin \left(4\,x\right)}\over{8}}+{{ x}\over{2}}\right)}\over{16384}}+{{455\,\left({{{{\sin \left(8\,x \right)}\over{2}}+4\,x}\over{8}}+{{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}+ x\right)}\over{32768}}+{{15\,\left({{\sin \left(4\,x\right)}\over{2 }}+2\,x\right)}\over{16384}}+{{429\,\sin ^{15}\left(2\,x\right)-3465 \,\sin ^{13}\left(2\,x\right)+12285\,\sin ^{11}\left(2\,x\right)- 25025\,\sin ^9\left(2\,x\right)+32175\,\sin ^7\left(2\,x\right)- 27027\,\sin ^5\left(2\,x\right)+15015\,\sin ^3\left(2\,x\right)-6435 \,\sin \left(2\,x\right)}\over{26357760}}-{{5\,\left(231\,\sin ^{13} \left(2\,x\right)-1638\,\sin ^{11}\left(2\,x\right)+5005\,\sin ^9 \left(2\,x\right)-8580\,\sin ^7\left(2\,x\right)+9009\,\sin ^5\left( 2\,x\right)-6006\,\sin ^3\left(2\,x\right)+3003\,\sin \left(2\,x \right)\right)}\over{1757184}}-{{273\,\left(-{{\sin ^{11}\left(2\,x \right)}\over{11}}+{{5\,\sin ^9\left(2\,x\right)}\over{9}}-{{10\, \sin ^7\left(2\,x\right)}\over{7}}+2\,\sin ^5\left(2\,x\right)-{{5\, \sin ^3\left(2\,x\right)}\over{3}}+\sin \left(2\,x\right)\right) }\over{4096}}-{{715\,\left({{\sin ^9\left(2\,x\right)}\over{9}}-{{4 \,\sin ^7\left(2\,x\right)}\over{7}}+{{6\,\sin ^5\left(2\,x\right) }\over{5}}-{{4\,\sin ^3\left(2\,x\right)}\over{3}}+\sin \left(2\,x \right)\right)}\over{4096}}-{{715\,\left(-{{\sin ^7\left(2\,x\right) }\over{7}}+{{3\,\sin ^5\left(2\,x\right)}\over{5}}-\sin ^3\left(2\,x \right)+\sin \left(2\,x\right)\right)}\over{4096}}-{{273\,\left({{ \sin ^5\left(2\,x\right)}\over{5}}-{{2\,\sin ^3\left(2\,x\right) }\over{3}}+\sin \left(2\,x\right)\right)}\over{4096}}-{{35\,\left( \sin \left(2\,x\right)-{{\sin ^3\left(2\,x\right)}\over{3}}\right) }\over{4096}}-{{\sin \left(2\,x\right)}\over{4096}}+{{x}\over{32768 }}}\over{2}}$$