Интеграл sin(x)^8 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     8      
 |  sin (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \sin^{8}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{8}{\left (x \right )} = \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{4}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16} \cos^{4}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{4} \cos^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{4} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{16}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{16} \cos^{4}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{16} \int \cos^{4}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{4}{\left (2 x \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left (4 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2} \cos{\left (8 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (8 x \right )}\, dx$

                  1. пусть $u = 8 x$.

                     Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{8} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (u \right )}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{1}{8} \sin{\left (8 x \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{16} \sin{\left (8 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{64} \sin{\left (8 x \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

         Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{64} \sin{\left (8 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{128} + \frac{1}{128} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{1024} \sin{\left (8 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{4} \cos^{3}{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{4} \int \cos^{3}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{3}{\left (2 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \cos{\left (2 x \right )}$

      2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \sin{\left (2 x \right )}$.

            Тогда пусть $du = 2 \cos{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $du$:

            $\int - \frac{u^{2}}{2} + \frac{1}{2}\, du$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int - \frac{u^{2}}{2}\, du = - \frac{1}{2} \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{6}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

               Результат есть: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \cos{\left (2 x \right )} = - \sin^{2}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )} + \cos{\left (2 x \right )}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \sin^{2}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \int \sin^{2}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

               1. пусть $u = \sin{\left (2 x \right )}$.

                  Тогда пусть $du = 2 \cos{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{1}{2} \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{6}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )}$

            1. пусть $u = 2 x$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

            Результат есть: $- \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{24} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{8} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{3}{8} \cos^{2}{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{3}{8} \int \cos^{2}{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{2}{\left (2 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3}{64} \sin{\left (4 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{4} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{4} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{8} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$

   Результат есть: $\frac{35 x}{128} + \frac{1}{24} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{7}{128} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{1024} \sin{\left (8 x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{35 x}{128} + \frac{1}{24} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{7}{128} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{1024} \sin{\left (8 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{35 x}{128} + \frac{1}{24} \sin^{3}{\left (2 x \right )} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{7}{128} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{1024} \sin{\left (8 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                                            
  /                                                                                            
 |                                              3                  5                7          
 |     8          35   35*cos(1)*sin(1)   35*sin (1)*cos(1)   7*sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)
 |  sin (x) dx = --- - ---------------- - ----------------- - ---------------- - --------------
 |               128         128                 192                 48                8       
/                                                                                              
0                                                                                              

$${{3\,\sin 8+168\,\sin 4+128\,\sin ^32-768\,\sin 2+840}\over{3072}}$$

Численный ответ

0.0370177996886868

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                    
 |                                3                                    
 |    8             sin(2*x)   sin (2*x)   sin(8*x)   7*sin(4*x)   35*x
 | sin (x) dx = C - -------- + --------- + -------- + ---------- + ----
 |                     4           24        1024        128       128 
/                                                                      

$${{{{{{{{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}+4\,x}\over{8}}+{{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}+x}\over{32}}+{{3\,\left({{\sin \left(4\, x\right)}\over{2}}+2\,x\right)}\over{16}}-{{\sin \left(2\,x\right)- {{\sin ^3\left(2\,x\right)}\over{3}}}\over{4}}-{{\sin \left(2\,x \right)}\over{4}}+{{x}\over{8}}}\over{2}}$$