Интеграл t*exp(-t) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |     -t   
 |  t*e   dt
 |          
/           
0           

$$\int\limits_{0}^{1} t e^{- t}\, dt$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - t$.

      Тогда пусть $du = - dt$ и подставим $du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- t e^{- t} - e^{- t}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(t \right)} = t$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{- t}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 1$.

      Чтобы найти $v{\left(t \right)}$:

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = - t$.

            Тогда пусть $du = - dt$ и подставим $- du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- t}$

         Метод #2

         1. пусть $u = e^{- t}$.

            Тогда пусть $du = - e^{- t} dt$ и подставим $- du$:

            $\int 1\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(-1\right)\, du = - \int 1\, du$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $- u$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- t}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- e^{- t}\right)\, dt = - \int e^{- t}\, dt$

      1. пусть $u = - t$.

         Тогда пусть $du = - dt$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- t}$

      Таким образом, результат будет: $e^{- t}$

2. Теперь упростить:

   $\left(- t - 1\right) e^{- t}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(- t - 1\right) e^{- t}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(- t - 1\right) e^{- t}+ \mathrm{constant}$

Ответ

       -1
1 - 2*e  

$$1 - \frac{2}{e}$$

=

=

       -1
1 - 2*e  

$$1 - \frac{2}{e}$$

Численный ответ

0.264241117657115

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                           
 |    -t           -t      -t
 | t*e   dt = C - e   - t*e  
 |                           
/                            

$$\int t e^{- t}\, dt = C - t e^{- t} - e^{- t}$$

График