Интеграл t^2*cos(t) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |   2          
 |  t *cos(t) dt
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} t^{2} \cos{\left (t \right )}\, dt$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (t \right )} = t^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (t \right )} = 2 t$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (t \right )}$:

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left (t \right )}\, dt = \sin{\left (t \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (t \right )} = 2 t$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (t \right )} = \sin{\left (t \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (t \right )} = 2$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (t \right )}$:

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (t \right )}\, dt = - \cos{\left (t \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - 2 \cos{\left (t \right )}\, dt = - 2 \int \cos{\left (t \right )}\, dt$

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left (t \right )}\, dt = \sin{\left (t \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- 2 \sin{\left (t \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $t^{2} \sin{\left (t \right )} + 2 t \cos{\left (t \right )} - 2 \sin{\left (t \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$t^{2} \sin{\left (t \right )} + 2 t \cos{\left (t \right )} - 2 \sin{\left (t \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                  
  /                                  
 |                                   
 |   2                               
 |  t *cos(t) dt = -sin(1) + 2*cos(1)
 |                                   
/                                    
0                                    

$$2\,\cos 1-\sin 1$$

Численный ответ

0.239133626928383

Ответ (Неопределённый)

  /                                                    
 |                                                     
 |  2                             2                    
 | t *cos(t) dt = C - 2*sin(t) + t *sin(t) + 2*t*cos(t)
 |                                                     
/                                                      

$$\left(t^2-2\right)\,\sin t+2\,t\,\cos t$$