Интеграл tan(4*x)^(5) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     5        
 |  tan (4*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \tan^{5}{\left (4 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\tan^{5}{\left (4 x \right )} = \left(\sec^{2}{\left (4 x \right )} - 1\right)^{2} \tan{\left (4 x \right )}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 x$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{4} \tan{\left (u \right )} \sec^{4}{\left (u \right )} - \frac{1}{2} \tan{\left (u \right )} \sec^{2}{\left (u \right )} + \frac{1}{4} \tan{\left (u \right )}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{4} \tan{\left (u \right )} \sec^{4}{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \tan{\left (u \right )} \sec^{4}{\left (u \right )}\, du$

            1. пусть $u = \sec{\left (u \right )}$.

               Тогда пусть $du = \tan{\left (u \right )} \sec{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

               $\int u^{3}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sec^{4}{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{16} \sec^{4}{\left (u \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{2} \tan{\left (u \right )} \sec^{2}{\left (u \right )}\, du = - \frac{1}{2} \int \tan{\left (u \right )} \sec^{2}{\left (u \right )}\, du$

            1. пусть $u = \sec{\left (u \right )}$.

               Тогда пусть $du = \tan{\left (u \right )} \sec{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

               $\int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{2} \sec^{2}{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sec^{2}{\left (u \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{4} \tan{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \tan{\left (u \right )}\, du$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\tan{\left (u \right )} = \frac{\sin{\left (u \right )}}{\cos{\left (u \right )}}$

            2. пусть $u = \cos{\left (u \right )}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left (u \right )} du$ и подставим $- du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \log{\left (\cos{\left (u \right )} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \log{\left (\cos{\left (u \right )} \right )}$

         Результат есть: $- \frac{1}{4} \log{\left (\cos{\left (u \right )} \right )} + \frac{1}{16} \sec^{4}{\left (u \right )} - \frac{1}{4} \sec^{2}{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{4} \log{\left (\cos{\left (4 x \right )} \right )} + \frac{1}{16} \sec^{4}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{4} \sec^{2}{\left (4 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\sec^{2}{\left (4 x \right )} - 1\right)^{2} \tan{\left (4 x \right )} = \tan{\left (4 x \right )} \sec^{4}{\left (4 x \right )} - 2 \tan{\left (4 x \right )} \sec^{2}{\left (4 x \right )} + \tan{\left (4 x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \sec{\left (4 x \right )}$.

         Тогда пусть $du = 4 \tan{\left (4 x \right )} \sec{\left (4 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int u^{3}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{3}\, du = \frac{1}{4} \int u^{3}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u^{4}}{16}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{16} \sec^{4}{\left (4 x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 2 \tan{\left (4 x \right )} \sec^{2}{\left (4 x \right )}\, dx = - 2 \int \tan{\left (4 x \right )} \sec^{2}{\left (4 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \sec{\left (4 x \right )}$.

            Тогда пусть $du = 4 \tan{\left (4 x \right )} \sec{\left (4 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u\, du = \frac{1}{4} \int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u^{2}}{8}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{8} \sec^{2}{\left (4 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sec^{2}{\left (4 x \right )}$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\tan{\left (4 x \right )} = \frac{\sin{\left (4 x \right )}}{\cos{\left (4 x \right )}}$

      2. пусть $u = \cos{\left (4 x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - 4 \sin{\left (4 x \right )} dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{4} \log{\left (\cos{\left (4 x \right )} \right )}$

      Результат есть: $- \frac{1}{4} \log{\left (\cos{\left (4 x \right )} \right )} + \frac{1}{16} \sec^{4}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{4} \sec^{2}{\left (4 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{4} \log{\left (\cos{\left (4 x \right )} \right )} + \frac{1}{16} \sec^{4}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{4} \sec^{2}{\left (4 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{4} \log{\left (\cos{\left (4 x \right )} \right )} + \frac{1}{16} \sec^{4}{\left (4 x \right )} - \frac{1}{4} \sec^{2}{\left (4 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                     
  /                                                                     
 |                         /       2   \                     2          
 |     5           3    log\1 - sin (4)/           -3 + 4*sin (4)       
 |  tan (4*x) dx = -- - ---------------- + -----------------------------
 |                 16          8             /         2           4   \
/                                          4*\4 - 8*sin (4) + 4*sin (4)/
0                                                                       

$${{-{{\log \left(1-\sin ^24\right)}\over{2}}-{{3}\over{4\,\sin ^44-8 \,\sin ^24+4}}+{{\sin ^24}\over{\sin ^44-2\,\sin ^24+1}}+{{3}\over{4 }}}\over{4}}$$

Численный ответ

741975584.422214

Ответ (Неопределённый)

  /                                                        
 |                       2                           4     
 |    5               sec (4*x)   log(cos(4*x))   sec (4*x)
 | tan (4*x) dx = C - --------- - ------------- + ---------
 |                        4             4             16   
/                                                          

$${{{{4\,\sin ^2\left(4\,x\right)-3}\over{4\,\sin ^4\left(4\,x\right) -8\,\sin ^2\left(4\,x\right)+4}}-{{\log \left(\sin ^2\left(4\,x \right)-1\right)}\over{2}}}\over{4}}$$