Интеграл tan(4*x)^(3) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     3        
 |  tan (4*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \tan^{3}{\left (4 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\tan^{3}{\left (4 x \right )} = \left(\sec^{2}{\left (4 x \right )} - 1\right) \tan{\left (4 x \right )}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sec^{2}{\left (4 x \right )}$.

      Тогда пусть $du = 8 \tan{\left (4 x \right )} \sec^{2}{\left (4 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

      $\int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du = \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{u} \left(u - 1\right) = 1 - \frac{1}{u}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

            Результат есть: $u - \log{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{8} - \frac{1}{8} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{8} \log{\left (\sec^{2}{\left (4 x \right )} \right )} + \frac{1}{8} \sec^{2}{\left (4 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\sec^{2}{\left (4 x \right )} - 1\right) \tan{\left (4 x \right )} = \tan{\left (4 x \right )} \sec^{2}{\left (4 x \right )} - \tan{\left (4 x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \sec{\left (4 x \right )}$.

         Тогда пусть $du = 4 \tan{\left (4 x \right )} \sec{\left (4 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int u\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u\, du = \frac{1}{4} \int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u^{2}}{8}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{8} \sec^{2}{\left (4 x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \tan{\left (4 x \right )}\, dx = - \int \tan{\left (4 x \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\tan{\left (4 x \right )} = \frac{\sin{\left (4 x \right )}}{\cos{\left (4 x \right )}}$

         2. пусть $u = \cos{\left (4 x \right )}$.

            Тогда пусть $du = - 4 \sin{\left (4 x \right )} dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{4} \log{\left (\cos{\left (4 x \right )} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log{\left (\cos{\left (4 x \right )} \right )}$

      Результат есть: $\frac{1}{4} \log{\left (\cos{\left (4 x \right )} \right )} + \frac{1}{8} \sec^{2}{\left (4 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{8} \log{\left (\sec^{2}{\left (4 x \right )} \right )} + \frac{1}{8} \sec^{2}{\left (4 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{8} \log{\left (\sec^{2}{\left (4 x \right )} \right )} + \frac{1}{8} \sec^{2}{\left (4 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                           
  /                                                           
 |                                               /       2   \
 |     3             1           1            log\1 - sin (4)/
 |  tan (4*x) dx = - - - ------------------ + ----------------
 |                   8     /          2   \          8        
/                        4*\-2 + 2*sin (4)/                   
0                                                             

$${\it \%a}$$

Численный ответ

35457.2393960552

Ответ (Неопределённый)

  /                                             
 |                       /   2     \      2     
 |    3               log\sec (4*x)/   sec (4*x)
 | tan (4*x) dx = C - -------------- + ---------
 |                          8              8    
/                                               

$${{{{\log \left(\sin ^2\left(4\,x\right)-1\right)}\over{2}}-{{1 }\over{2\,\sin ^2\left(4\,x\right)-2}}}\over{4}}$$