Интеграл tan(2*x+1) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                
      /                
     |                 
     |  tan(2*x + 1) dx
     |                 
    /                  
    0                  
    01tan(2x+1)dx\int\limits_{0}^{1} \tan{\left(2 x + 1 \right)}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      tan(2x+1)=sin(2x+1)cos(2x+1)\tan{\left(2 x + 1 \right)} = \frac{\sin{\left(2 x + 1 \right)}}{\cos{\left(2 x + 1 \right)}}

    2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=cos(2x+1)u = \cos{\left(2 x + 1 \right)}.

        Тогда пусть du=2sin(2x+1)dxdu = - 2 \sin{\left(2 x + 1 \right)} dx и подставим du2- \frac{du}{2}:

        14udu\int \frac{1}{4 u}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (12u)du=1udu2\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

          Таким образом, результат будет: log(u)2- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        log(cos(2x+1))2- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x + 1 \right)} \right)}}{2}

      Метод #2

      1. пусть u=2x+1u = 2 x + 1.

        Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

        sin(u)4cos(u)du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4 \cos{\left(u \right)}}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          sin(u)2cos(u)du=sin(u)cos(u)du2\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \cos{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du}{2}

          1. пусть u=cos(u)u = \cos{\left(u \right)}.

            Тогда пусть du=sin(u)dudu = - \sin{\left(u \right)} du и подставим du- du:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              (1u)du=1udu\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left(u \right)}.

              Таким образом, результат будет: log(u)- \log{\left(u \right)}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(cos(u))- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}

          Таким образом, результат будет: log(cos(u))2- \frac{\log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}}{2}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        log(cos(2x+1))2- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x + 1 \right)} \right)}}{2}

    3. Теперь упростить:

      log(cos(2x+1))2- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x + 1 \right)} \right)}}{2}

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      log(cos(2x+1))2+constant- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x + 1 \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    log(cos(2x+1))2+constant- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x + 1 \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2000020000
    Ответ [src]
         /       2   \      /       2   \
      log\1 + tan (1)/   log\1 + tan (3)/
    - ---------------- + ----------------
             4                  4        
    log(1+tan2(1))4+log(tan2(3)+1)4- \frac{\log{\left(1 + \tan^{2}{\left(1 \right)} \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(3 \right)} + 1 \right)}}{4}
    =
    =
         /       2   \      /       2   \
      log\1 + tan (1)/   log\1 + tan (3)/
    - ---------------- + ----------------
             4                  4        
    log(1+tan2(1))4+log(tan2(3)+1)4- \frac{\log{\left(1 + \tan^{2}{\left(1 \right)} \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(3 \right)} + 1 \right)}}{4}
    Численный ответ [src]
    -0.593156704615895
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                       
     |                       log(cos(2*x + 1))
     | tan(2*x + 1) dx = C - -----------------
     |                               2        
    /                                         
    tan(2x+1)dx=Clog(cos(2x+1))2\int \tan{\left(2 x + 1 \right)}\, dx = C - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x + 1 \right)} \right)}}{2}
    График
    Интеграл tan(2*x+1) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/0/4d/38de924e5d7f52732ea82593a18e1.png