Интеграл tan(5*x)*dx (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |  tan(5*x) dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \tan{\left (5 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\tan{\left (5 x \right )} = \frac{\sin{\left (5 x \right )}}{\cos{\left (5 x \right )}}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \cos{\left (5 x \right )}$.

      Тогда пусть $du = - 5 \sin{\left (5 x \right )} dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{1}{5} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{5} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{5} \log{\left (\cos{\left (5 x \right )} \right )}$

   Метод #2

   1. пусть $u = 5 x$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{\sin{\left (u \right )}}{\cos{\left (u \right )}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sin{\left (u \right )}}{\cos{\left (u \right )}}\, du = \frac{1}{5} \int \frac{\sin{\left (u \right )}}{\cos{\left (u \right )}}\, du$

         1. пусть $u = \cos{\left (u \right )}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left (u \right )} du$ и подставим $- du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \log{\left (\cos{\left (u \right )} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{5} \log{\left (\cos{\left (u \right )} \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{5} \log{\left (\cos{\left (5 x \right )} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{5} \log{\left (\cos{\left (5 x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{5} \log{\left (\cos{\left (5 x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                 
  /                   /       2   \ 
 |                -log\1 - sin (5)/ 
 |  tan(5*x) dx = ------------------
 |                        10        
/                                   
0                                   

$$-{{\log \cos 5}\over{5}}$$

Численный ответ

1.33441279257591

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                   log(cos(5*x))
 | tan(5*x) dx = C - -------------
 |                         5      
/                                 

$${{\log \sec \left(5\,x\right)}\over{5}}$$