Интеграл tan(3*x-1) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  tan(3*x - 1) dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} \tan{\left (3 x - 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\tan{\left (3 x - 1 \right )} = \frac{\sin{\left (3 x - 1 \right )}}{\cos{\left (3 x - 1 \right )}}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \cos{\left (3 x - 1 \right )}$.

      Тогда пусть $du = - 3 \sin{\left (3 x - 1 \right )} dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{3} \log{\left (\cos{\left (3 x - 1 \right )} \right )}$

   Метод #2

   1. пусть $u = 3 x - 1$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\sin{\left (u \right )}}{\cos{\left (u \right )}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sin{\left (u \right )}}{\cos{\left (u \right )}}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{\sin{\left (u \right )}}{\cos{\left (u \right )}}\, du$

         1. пусть $u = \cos{\left (u \right )}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left (u \right )} du$ и подставим $- du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \log{\left (\cos{\left (u \right )} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \log{\left (\cos{\left (u \right )} \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{3} \log{\left (\cos{\left (3 x - 1 \right )} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{3} \log{\left (\cos{\left (3 x - 1 \right )} \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{3} \log{\left (\cos{\left (3 x - 1 \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{3} \log{\left (\cos{\left (3 x - 1 \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                        
  /                        /       2   \      /       2   \
 |                      log\1 + tan (1)/   log\1 + tan (2)/
 |  tan(3*x - 1) dx = - ---------------- + ----------------
 |                             6                  6        
/                                                          
0                                                          

$${{\log \cos 1}\over{3}}-{{\log \left(-\cos 2\right)}\over{3}}$$

Численный ответ

-0.870197966721851

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                       log(cos(3*x - 1))
 | tan(3*x - 1) dx = C - -----------------
 |                               3        
/                                         

$${{\log \sec \left(3\,x-1\right)}\over{3}}$$