Интеграл tan(x/2) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |     /x\   
 |  tan|-| dx
 |     \2/   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\tan{\left (\frac{x}{2} \right )} = \frac{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $- 2 du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- 2 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}} = \frac{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

   2. пусть $u = \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $- 2 du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- 2 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $- 2 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- 2 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- 2 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                
  /                                
 |                                 
 |     /x\          /       2     \
 |  tan|-| dx = -log\1 - sin (1/2)/
 |     \2/                         
 |                                 
/                                  
0                                  

$$-2\,\log \cos \left({{1}\over{2}}\right)$$

Численный ответ

0.261168480887445

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |    /x\               /   /x\\
 | tan|-| dx = C - 2*log|cos|-||
 |    \2/               \   \2//
 |                              
/                               

$$2\,\log \sec \left({{x}\over{2}}\right)$$