Интеграл tan(x/2)^(3) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     3/x\   
 |  tan |-| dx
 |      \2/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \tan^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\tan^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \tan^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\tan^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \left(\sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} - 1\right) \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   3. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

         Тогда пусть $du = \tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{u} \left(u - 1\right) = 1 - \frac{1}{u}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

            Результат есть: $u - \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \log{\left (\sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )} + \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} - 1\right) \tan{\left (\frac{x}{2} \right )} = \tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. пусть $u = \sec{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2} \tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \sec{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $2 du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u\, du = 2 \int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $u^{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx = - \int \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\tan{\left (\frac{x}{2} \right )} = \frac{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

            2. пусть $u = \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

               Тогда пусть $du = - \frac{dx}{2} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $- 2 du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- 2 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}$

         Результат есть: $2 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )} + \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\tan^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \left(\sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} - 1\right) \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   2. пусть $u = \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

      Тогда пусть $du = \tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u} \left(u - 1\right) = 1 - \frac{1}{u}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

         Результат есть: $u - \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \log{\left (\sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )} + \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left (\sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )} + \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \log{\left (\sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )} + \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                        
  /                                                        
 |                                                         
 |     3/x\                  2              /       2     \
 |  tan |-| dx = -1 - ---------------- + log\1 - sin (1/2)/
 |      \2/                     2                          
 |                    -2 + 2*sin (1/2)                     
/                                                          
0                                                          

$$2\,\left({{\log \left(1-\sin ^2\left({{1}\over{2}}\right)\right) }\over{2}}-{{1}\over{2\,\sin ^2\left({{1}\over{2}}\right)-2}}-{{1 }\over{2}}\right)$$

Численный ответ

0.0372779295220794

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                                        
 |    3/x\             2/x\      /   2/x\\
 | tan |-| dx = C + sec |-| - log|sec |-||
 |     \2/              \2/      \    \2//
 |                                        
/                                         

$$2\,\left({{\log \left(\sin ^2\left({{x}\over{2}}\right)-1\right) }\over{2}}-{{1}\over{2\,\sin ^2\left({{x}\over{2}}\right)-2}}\right)$$