Интеграл tan(x/3)^(3) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     3/x\   
 |  tan |-| dx
 |      \3/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \tan^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\tan^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )} = \tan^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\tan^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )} = \left(\sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} - 1\right) \tan{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   3. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}$.

         Тогда пусть $du = \frac{2 dx}{3} \tan{\left (\frac{x}{3} \right )} \sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u} \left(3 u - 3\right)\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u} \left(3 u - 3\right)\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \left(3 u - 3\right)\, du$

            1. пусть $u = 3 u$.

               Тогда пусть $du = 3 du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u} \left(u - 3\right)\, du$

               1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\frac{1}{u} \left(u - 3\right) = 1 - \frac{3}{u}$

               2. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int 1\, du = u$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int - \frac{3}{u}\, du = - 3 \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                     Таким образом, результат будет: $- 3 \log{\left (u \right )}$

                  Результат есть: $u - 3 \log{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $3 u - 3 \log{\left (3 u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3 u}{2} - \frac{3}{2} \log{\left (3 u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{3}{2} \log{\left (3 \sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} \right )} + \frac{3}{2} \sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} - 1\right) \tan{\left (\frac{x}{3} \right )} = \tan{\left (\frac{x}{3} \right )} \sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} - \tan{\left (\frac{x}{3} \right )}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. пусть $u = \sec{\left (\frac{x}{3} \right )}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{3} \tan{\left (\frac{x}{3} \right )} \sec{\left (\frac{x}{3} \right )}$ и подставим $3 du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u\, du = 3 \int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{3 u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{3}{2} \sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \tan{\left (\frac{x}{3} \right )}\, dx = - \int \tan{\left (\frac{x}{3} \right )}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\tan{\left (\frac{x}{3} \right )} = \frac{\sin{\left (\frac{x}{3} \right )}}{\cos{\left (\frac{x}{3} \right )}}$

            2. пусть $u = \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$.

               Тогда пусть $du = - \frac{dx}{3} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )}$ и подставим $- 3 du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = - 3 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $- 3 \log{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- 3 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{3} \right )} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $3 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{3} \right )} \right )}$

         Результат есть: $3 \log{\left (\cos{\left (\frac{x}{3} \right )} \right )} + \frac{3}{2} \sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\tan^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )} = \left(\sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} - 1\right) \tan{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   2. пусть $u = \sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}$.

      Тогда пусть $du = \frac{2 dx}{3} \tan{\left (\frac{x}{3} \right )} \sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u} \left(3 u - 3\right)\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u} \left(3 u - 3\right)\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \left(3 u - 3\right)\, du$

         1. пусть $u = 3 u$.

            Тогда пусть $du = 3 du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u} \left(u - 3\right)\, du$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{u} \left(u - 3\right) = 1 - \frac{3}{u}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int - \frac{3}{u}\, du = - 3 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $- 3 \log{\left (u \right )}$

               Результат есть: $u - 3 \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $3 u - 3 \log{\left (3 u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 u}{2} - \frac{3}{2} \log{\left (3 u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{3}{2} \log{\left (3 \sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} \right )} + \frac{3}{2} \sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{3}{2} \log{\left (3 \sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} \right )} + \frac{3}{2} \sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{3}{2} \log{\left (3 \sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} \right )} + \frac{3}{2} \sec^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                           
  /                                                           
 |                                             /       2     \
 |     3/x\        3          3           3*log\1 - sin (1/3)/
 |  tan |-| dx = - - - ---------------- + --------------------
 |      \3/        2             2                 2          
 |                     -2 + 2*sin (1/3)                       
/                                                             
0                                                             

$$3\,\left({{\log \left(1-\sin ^2\left({{1}\over{3}}\right)\right) }\over{2}}-{{1}\over{2\,\sin ^2\left({{1}\over{3}}\right)-2}}-{{1 }\over{2}}\right)$$

Численный ответ

0.00998954487832324

Ответ (Неопределённый)

  /                      /     2/x\\        2/x\
 |                  3*log|3*sec |-||   3*sec |-|
 |    3/x\               \      \3//         \3/
 | tan |-| dx = C - ---------------- + ---------
 |     \3/                 2               2    
 |                                              
/                                               

$$3\,\left({{\log \left(\sin ^2\left({{x}\over{3}}\right)-1\right) }\over{2}}-{{1}\over{2\,\sin ^2\left({{x}\over{3}}\right)-2}}\right)$$