Интеграл tan(x)-x (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  (tan(x) - x) dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} - x + \tan{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - x\, dx = - \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2}$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\tan{\left (x \right )} = \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

   2. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$

   Результат есть: $- \frac{x^{2}}{2} - \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x^{2}}{2} - \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{x^{2}}{2} - \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                         
  /                            /       2   \
 |                      1   log\1 - sin (1)/
 |  (tan(x) - x) dx = - - - ----------------
 |                      2          2        
/                                           
0                                           

$$-{{2\,\log \cos 1+1}\over{2}}$$

Численный ответ

0.115626470386014

Ответ (Неопределённый)

  /                                     2
 |                                     x 
 | (tan(x) - x) dx = C - log(cos(x)) - --
 |                                     2 
/                                        

$$\log \sec x-{{x^2}\over{2}}$$