Интеграл (tan(x))^5 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  tan (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \tan^{5}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\tan^{5}{\left (x \right )} = \left(\sec^{2}{\left (x \right )} - 1\right)^{2} \tan{\left (x \right )}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(\sec^{2}{\left (x \right )} - 1\right)^{2} \tan{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec^{4}{\left (x \right )} - 2 \tan{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}$

3. Интегрируем почленно:

   1. пусть $u = \sec{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{4} \sec^{4}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 2 \tan{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}\, dx = - 2 \int \tan{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \sec{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sec^{2}{\left (x \right )}$

         Метод #2

         1. пусть $u = \tan{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) dx$ и подставим $du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \tan^{2}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \sec^{2}{\left (x \right )}$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\tan{\left (x \right )} = \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

   2. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$

   Результат есть: $- \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{1}{4} \sec^{4}{\left (x \right )} - \sec^{2}{\left (x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{1}{4} \sec^{4}{\left (x \right )} - \sec^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{1}{4} \sec^{4}{\left (x \right )} - \sec^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                              
  /                                                              
 |                      /       2   \                   2        
 |     5         3   log\1 - sin (1)/         -3 + 4*sin (1)     
 |  tan (x) dx = - - ---------------- + -------------------------
 |               4          2                    2           4   
/                                       4 - 8*sin (1) + 4*sin (1)
0                                                                

$$-{{\log \left(1-\sin ^21\right)}\over{2}}-{{3}\over{4\,\sin ^41-8\, \sin ^21+4}}+{{\sin ^21}\over{\sin ^41-2\,\sin ^21+1}}+{{3}\over{4}}$$

Численный ответ

0.87365244751029

Ответ (Неопределённый)

  /                                                
 |                                             4   
 |    5                2                    sec (x)
 | tan (x) dx = C - sec (x) - log(cos(x)) + -------
 |                                             4   
/                                                  

$${{4\,\sin ^2x-3}\over{4\,\sin ^4x-8\,\sin ^2x+4}}-{{\log \left( \sin ^2x-1\right)}\over{2}}$$