Интеграл (tan(x))^7 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     7      
 |  tan (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \tan^{7}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\tan^{7}{\left (x \right )} = \left(\sec^{2}{\left (x \right )} - 1\right)^{3} \tan{\left (x \right )}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(\sec^{2}{\left (x \right )} - 1\right)^{3} \tan{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec^{6}{\left (x \right )} - 3 \tan{\left (x \right )} \sec^{4}{\left (x \right )} + 3 \tan{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )} - \tan{\left (x \right )}$

3. Интегрируем почленно:

   1. пусть $u = \sec{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

      $\int u^{5}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{6} \sec^{6}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 3 \tan{\left (x \right )} \sec^{4}{\left (x \right )}\, dx = - 3 \int \tan{\left (x \right )} \sec^{4}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \sec{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{3}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{4} \sec^{4}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{3}{4} \sec^{4}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 3 \tan{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}\, dx = 3 \int \tan{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \sec{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sec^{2}{\left (x \right )}$

         Метод #2

         1. пусть $u = \tan{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) dx$ и подставим $du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \tan^{2}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{3}{2} \sec^{2}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \tan{\left (x \right )}\, dx = - \int \tan{\left (x \right )}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\tan{\left (x \right )} = \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

      2. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$

   Результат есть: $\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{1}{6} \sec^{6}{\left (x \right )} - \frac{3}{4} \sec^{4}{\left (x \right )} + \frac{3}{2} \sec^{2}{\left (x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{1}{6} \sec^{6}{\left (x \right )} - \frac{3}{4} \sec^{4}{\left (x \right )} + \frac{3}{2} \sec^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{1}{6} \sec^{6}{\left (x \right )} - \frac{3}{4} \sec^{4}{\left (x \right )} + \frac{3}{2} \sec^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                                  
  /                                                                                  
 |                         /       2   \                     2            4          
 |     7           11   log\1 - sin (1)/          11 - 27*sin (1) + 18*sin (1)       
 |  tan (x) dx = - -- + ---------------- - ------------------------------------------
 |                 12          2                       4            6            2   
/                                          -12 - 36*sin (1) + 12*sin (1) + 36*sin (1)
0                                                                                    

$${{\log \left(1-\sin ^21\right)}\over{2}}-{{11}\over{12\,\sin ^61-36 \,\sin ^41+36\,\sin ^21-12}}+{{9\,\sin ^21}\over{4\,\sin ^61-12\, \sin ^41+12\,\sin ^21-4}}-{{3\,\sin ^41}\over{2\,\sin ^61-6\,\sin ^4 1+6\,\sin ^21-2}}-{{11}\over{12}}$$

Численный ответ

1.50462597838128

Ответ (Неопределённый)

  /                                                              
 |                       4         6           2                 
 |    7             3*sec (x)   sec (x)   3*sec (x)              
 | tan (x) dx = C - --------- + ------- + --------- + log(cos(x))
 |                      4          6          2                  
/                                                                

$${{\log \left(\sin ^2x-1\right)}\over{2}}-{{18\,\sin ^4x-27\,\sin ^2 x+11}\over{12\,\sin ^6x-36\,\sin ^4x+36\,\sin ^2x-12}}$$