Интеграл tan(x)^3 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  tan (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \tan^{3}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\tan^{3}{\left (x \right )} = \left(\sec^{2}{\left (x \right )} - 1\right) \tan{\left (x \right )}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sec^{2}{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = 2 \tan{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{u} \left(u - 1\right) = 1 - \frac{1}{u}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

            Результат есть: $u - \log{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} - \frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{2} \log{\left (\sec^{2}{\left (x \right )} \right )} + \frac{1}{2} \sec^{2}{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\sec^{2}{\left (x \right )} - 1\right) \tan{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )} - \tan{\left (x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \sec{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

         $\int u\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \sec^{2}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \tan{\left (x \right )}\, dx = - \int \tan{\left (x \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\tan{\left (x \right )} = \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

         2. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$

      Результат есть: $\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{1}{2} \sec^{2}{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{2} \log{\left (\sec^{2}{\left (x \right )} \right )} + \frac{1}{2} \sec^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2} \log{\left (\sec^{2}{\left (x \right )} \right )} + \frac{1}{2} \sec^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                     
  /                                                     
 |                        /       2   \                 
 |     3           1   log\1 - sin (1)/         1       
 |  tan (x) dx = - - + ---------------- - --------------
 |                 2          2                     2   
/                                         -2 + 2*sin (1)
0                                                       

$${{\log \left(1-\sin ^21\right)}\over{2}}-{{1}\over{2\,\sin ^21-2}}- {{1}\over{2}}$$

Численный ответ

0.597132940021366

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                     2         /   2   \
 |    3             sec (x)   log\sec (x)/
 | tan (x) dx = C + ------- - ------------
 |                     2           2      
/                                         

$${{\log \left(\sin ^2x-1\right)}\over{2}}-{{1}\over{2\,\sin ^2x-2}}$$