Интеграл (3-2*x)^5 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           5   
 |  (3 - 2*x)  dx
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} \left(3 - 2 x\right)^{5}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 - 2 x$.

      Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{5}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{u^{5}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{5}\, du}{2}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{6}}{12}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\left(3 - 2 x\right)^{6}}{12}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 - 2 x\right)^{5} = - 32 x^{5} + 240 x^{4} - 720 x^{3} + 1080 x^{2} - 810 x + 243$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 32 x^{5}\right)\, dx = - 32 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{16 x^{6}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 240 x^{4}\, dx = 240 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $48 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 720 x^{3}\right)\, dx = - 720 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 180 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1080 x^{2}\, dx = 1080 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $360 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 810 x\right)\, dx = - 810 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 405 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 243\, dx = 243 x$

      Результат есть: $- \frac{16 x^{6}}{3} + 48 x^{5} - 180 x^{4} + 360 x^{3} - 405 x^{2} + 243 x$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\left(2 x - 3\right)^{6}}{12}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\left(2 x - 3\right)^{6}}{12}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\left(2 x - 3\right)^{6}}{12}+ \mathrm{constant}$

Ответ

182/3

$$\frac{182}{3}$$

=

=

182/3

$$\frac{182}{3}$$

Численный ответ

60.6666666666667

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              6
 |          5          (3 - 2*x) 
 | (3 - 2*x)  dx = C - ----------
 |                         12    
/                                

$$\int \left(3 - 2 x\right)^{5}\, dx = C - \frac{\left(3 - 2 x\right)^{6}}{12}$$

График