Интеграл (3-x)^3 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |         3   
 |  (3 - x)  dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \left(- x + 3\right)^{3}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x + 3$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{4}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{4} \left(- x + 3\right)^{4}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- x + 3\right)^{3} = - x^{3} + 9 x^{2} - 27 x + 27$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - x^{3}\, dx = - \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{4}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 9 x^{2}\, dx = 9 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $3 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 27 x\, dx = - 27 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{27 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 27\, dx = 27 x$

      Результат есть: $- \frac{x^{4}}{4} + 3 x^{3} - \frac{27 x^{2}}{2} + 27 x$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{4} \left(x - 3\right)^{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{4} \left(x - 3\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{4} \left(x - 3\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |         3          
 |  (3 - x)  dx = 65/4
 |                    
/                     
0                     

$${{65}\over{4}}$$

Численный ответ

16.25

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                          4
 |        3          (3 - x) 
 | (3 - x)  dx = C - --------
 |                      4    
/                            

$$-{{x^4}\over{4}}+3\,x^3-{{27\,x^2}\over{2}}+27\,x$$